Lösningsförslag. Tillämpa Greens sats med $P = -f_y$ och $Q = f_x$ . Vi har då

\iint_{D} (f_{xx} + f_{yy}) \, dx\,dy = \iint_{D} (Q_x - P_y) \, dx\,dy = \int_{\mathcal{C}} -f_y \, dx + f_x \, dy,

där $\mathcal{C}$ är randen av $D$ . Man får att

f_x(x, y) = g'(\sqrt{x^2 + y^2}) \left(\frac{x}{2\sqrt{x^2 + y^2}}\right), f_y(x, y) = g'(\sqrt{x^2 + y^2}) \left(\frac{y}{2\sqrt{x^2 + y^2}}\right).

På $\mathcal{C}$ har vi då $f_x(x,y) = g'(2)x/2 = x/2$ , $f_y(x,y) = g'(2)y/2 = y/2$ . Sätt detta i integralen och tillämpa Greens sats igen för att få

\iint_{D} (f_{xx} + f_{yy}) \, dx\,dy = \frac{1}{2} \int_{\mathcal{C}} -y \, dx + x \, dy = \frac{1}{2} \iint_{D} (1 + 1) \, dx\,dy = \text{Arean}(D) = 2\pi.

Svar. $2\pi$