Det går lättast att beräkna integralen genom att först integrera med avseende på $y$ . Vi får då

\begin{aligned} \iiint_{0 \leq x \leq y \leq z \leq 1} \left((y - x)^k - (z - y)^k\right) dx dy dz \\ = \int_0^1 \int_0^z \int_x^z \left((y - x)^k - (z - y)^k\right) dy dx dz = \int_0^1 \int_0^z \left[ \frac{(y - x)^{k+1}}{k+1} + \frac{(z - y)^{k+1}}{k+1} \right]_x^z dy dz \\ = \int_0^1 \int_0^z \left( \frac{(z - x)^{k+1}}{k+1} - 0 + 0 - \frac{(z - x)^{k+1}}{k+1} \right) dy dz = \int_0^1 \int_0^z 0 dy dz = 0. \end{aligned}

Det går också att beräkna med $x$ först, därefter $y$ och sist $z$ . Vi får då

\iiint_{0 \leq x \leq y \leq z \leq 1} \left((y - x)^k - (z - y)^k\right) dx dy dz \\ = \int_0^1 \int_0^z \int_0^y \left((y - x)^k - (z - y)^k\right) dx dy dz \\ = \int_0^1 \int_0^z \left[ - \frac{(y - x)^{k+1}}{k+1} - x(z - y)^k \right]_0^y dy dz = \int_0^1 \int_0^z \left( \frac{y^{k+1}}{k+1} - y(z - y)^k \right) dy dz \\ = \int_0^1 \int_0^z \left( \frac{y^{k+1}}{k+1} + (z - y)^{k+1} - z(z - y)^k \right) dy dz \\ = \int_0^1 \left[ \frac{y^{k+2}}{(k+1)(k+2)} - \frac{(z - y)^{k+2}}{k+2} + z \frac{(z - y)^{k+1}}{k+1} \right]_0^z dz \\ = \int_0^1 \left( \frac{z^{k+2}}{(k+1)(k+2)} + \frac{z^{k+2}}{k+2} - z \frac{z^{k+1}}{k+1} \right) dz = \int_0^1 0 dz = 0

där vi använt att

\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} = \frac{(k+2) - (k+1)}{(k+1)(k+2)} = \frac{1}{(k+1)(k+2)}.

Svar. $\iiint_{0 \leq x \leq y \leq z \leq 1} \left((y - x)^k - (z - y)^k\right) dx dy dz = 0.$