Lösningsförslag. Eftersom förutsättningarna för divergenssatsen i planet är uppfyllda kan vi skriva om dubbelintegralen som en flödesintegral

\iint_{D} \left(f_{xx}^{\prime \prime} + f_{yy}^{\prime \prime}\right) \, dx\,dy = \int_{C} \mathbf{grad}\, f \cdot d\mathbf{N}.

Vi får gradienten av $f$ som

\mathbf{grad}\, f = \left(2xg^{\prime}\left(x^{2} + y^{2}\right), 2yg^{\prime}\left(x^{2} + y^{2}\right)\right).

En normerad normalvektor till cirkeln $C$ ges av $\mathbf{N}(x,y) = \frac{1}{2}(x,y)$ och därmed blir linjeintegralen

\int_{C} \mathbf{grad}\, f \cdot d\mathbf{N} = \int_{C} g^{\prime}(4)(2x, 2y) \cdot \left(1/2x, 1/2y\right) ds = \int_{C} (x^{2} + y^{2}) ds = 4 \int_{C} ds = 4 \cdot 4\pi = 16\pi.

Ett annat sätt att lösa uppgiften är att beräkna integranden $f_{xx}^{\prime \prime} + f_{yy}^{\prime \prime}$ som

f_{xx}^{\prime \prime} + f_{yy}^{\prime \prime} = 4g^{\prime}\left(x^{2} + y^{2}\right) + 4(x^{2} + y^{2})g^{\prime\prime}\left(x^{2} + y^{2}\right).

Överång till polära koordinater ger

\iint_{D} \left(f_{xx}^{\prime \prime} + f_{yy}^{\prime \prime}\right) \, dx\,dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} 4g^{\prime}(r^{2}) + 4r^{2}g^{\prime\prime}(r^{2})\,r\,dr\,d\theta = 2\pi \int_{0}^{2} 4g^{\prime}(r^{2}) + 4r^{2}g^{\prime\prime}(r^{2})\,r\,dr.

Variabelbytet $t = r^2$ ger sedan $dt = 2r\,dr$ och

2\pi \int_{0}^{2} 4g^{\prime}(r^{2}) + 4r^{2}g^{\prime\prime}(r^{2})\,r\,dr = 4\pi \int_{0}^{4} g^{\prime}(t) + tg^{\prime\prime}(t)\,dt = 4\pi \left[tg^{\prime}(t)\right]_{0}^{4} = 4\pi \cdot 4 - 4\pi \cdot 0 = 16\pi.