Om vi väljer att använda divergenssatsen ser vi först att

\operatorname{div} \mathbf{F} = y + z + x^2.

och eftersom $\mathbf{F}$ är kontinuerligt deriverbart och begränsningsytan till $K$ är styckvis slät får vi

\iint_{\partial K} \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, dS = \iiint_{K} \operatorname{div} \mathbf{F} \, dx \, dy \, dz = \int_{K} (x^2 + y + z) \, dx \, dy \, dz.

Vi kan sedan byta till cylinderkoordinater och får

\int_{K} (x^2 + y + z) \, dx \, dy \, dz = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r^2 \cos^2 \theta + r \sin \theta + z) r \, dr \, d\theta \, dz

Varje term kan beräknas som en produkt.

\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^3 \cos^2 \theta \, dr \, d\theta \, dz = \int_{0}^{2\pi} \cos^2 \theta \, d\theta \int_{0}^{1} r^3 \, dr \int_{0}^{1} 1 \, dz = \pi \cdot \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{1} \cdot 1 = \frac{\pi}{4}, \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^2 \sin \theta r \, dr \, d\theta \, dz = \int_{0}^{2\pi} \cos^2 \theta \, d\theta \int_{0}^{1} r^3 \, dr \int_{0}^{1} 1 \, dz = [-\cos \theta]_{0}^{2\pi} \cdot \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{1} \cdot 1 = 0

och

\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} z r \, dr \, d\theta \, dz = \int_{0}^{2\pi} 1 \, d\theta \int_{0}^{1} r \, dr \int_{0}^{1} z \, dz = 2\pi \cdot \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{1} \cdot \left[ \frac{z^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2}.

Sammantaget får vi

\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r^2 \cos^2 \theta + r \sin \theta + z) r \, dr \, d\theta \, dz = \frac{\pi}{4} + 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}.

Väljer vi istället att parametrisera ytans delar får vi tre olika delar. Vi börjar med mantelytan som kan parametriseras med $\mathbf{r}(\theta, z) = (\cos \theta, \sin \theta, z)$ . En utåtriktad normerad normalvektor ges av $(\cos \theta, \sin \theta, 0)$ och därför ges flödet av integralen

\begin{array}{l} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (\cos \theta \sin \theta, z \sin \theta, \sin^{3} \theta + z \cos^{2} \theta) \cdot (\cos \theta, \sin \theta, 0) \, dzd\theta \\ = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \cos^{2} \theta \sin \theta + z \sin^{2} \theta \, dzd\theta = \int_{0}^{2\pi} \cos^{2} \theta \sin \theta \int_{0}^{1} dz + \int_{0}^{2\pi} \sin^{2} \theta \int_{0}^{1} z \, dz \\ = \left[ -\frac{1}{3} \cos^{3} \theta \right]_{0}^{2\pi} \cdot 1 + \pi \cdot \left[ \frac{z^{2}}{2} \right]_{0}^{1} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \end{array}

Bottenytan är en cirkelskiva som parametriseras av $\mathbf{r}(r,\theta) = (r\cos \theta, r\sin \theta, 0)$ och en utåtriktad normerad normalvektor är $(0,0,-1)$ . Därmed blir flödet genom denna del

\begin{array}{l} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r^{2} \cos \theta \sin \theta, 0, r^{3} \sin^{3} \theta) \cdot (0, 0, -1) \, rdrd\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} -r^{3} \sin^{3} \theta \, rdrd\theta \\ = -\int_{0}^{1} r^{4} \, dr \int_{0}^{2\pi} \sin \theta (1 - \cos^{2} \theta) \, d\theta = -\frac{1}{5} \cdot \left[ -\cos \theta + \frac{1}{3} \cos^{3} \theta \right]_{0}^{2\pi} = 0. \end{array}

Slutligen ges den övre begränsningsytan av $\mathbf{r}(r,\theta) = (r\cos \theta, r\sin \theta, 1)$ . En utåtriktad normerad normalvektor ges av $(0,0,1)$ och därför ges flödet av integralen

\begin{array}{l} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r^{2} \cos \theta \sin \theta, r \sin \theta, r^{3} \sin^{3} \theta + r^{2} \cos^{2} \theta) \cdot (0, 0, 1) \, rdrd\theta \\ = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^{3} \sin^{3} \theta + r^{2} \cos^{2} \theta \, rdrd\theta \end{array}

Den första termen är noll enligt den förra beräkningen och den andra ger

\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^{2} \cos^{2} \theta \, rdrd\theta = \int_{0}^{1} r^{3} \, dr \int_{0}^{2\pi} \frac{\cos 2\theta + 1}{2} \, d\theta = \frac{1}{4} \cdot \left[ \frac{\sin 2\theta}{4} + \frac{\theta}{2} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{\pi}{4}.

Sammataget blir flödet

\frac{\pi}{2} + 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.