Vi kan börja med att bestämma masscentrums läge i relation till halvklotets centrum. Det kan vi göra genom att placera halvklotet i ett koordinatsystem där dess centrum är i origo och där hela $K$ ligger i området där $z \geq 0$ . Masscentrum måste av symmetriskäl befinna sig på $z$ -axeln, och vi kan beräkna dess $z$ -koordinat som

m_z = \frac{1}{V} \iiint_{K} z \, dx \, dy \, dz

där $V$ är halvklotets volym, vilket med övergång till cylinderkoordinater blir

\begin{array}{l} m_z = \frac{1}{V} \iiint_{k} z r \, dr \, d\theta \, dz = \frac{3}{2\pi a^3} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^2 - r^2}} z r \, dz \, dr \, d\theta \\ = \frac{3}{2\pi a^3} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \frac{\left(\sqrt{a^2 - r^2}\right)^2}{2} \cdot r \, dz \, dr \, d\theta = \frac{3}{2\pi a^3} \frac{2\pi}{2} \int_{0}^{a} \left(a^2 r - r^3\right) dr \\ = \frac{3}{2a^3} \left[ \frac{a^2 r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{a} = \frac{3}{2a^3} \left(\frac{a^4}{2} - \frac{a^4}{4}\right) = \frac{3a}{8}. \end{array}

Vi kan nu beräkna den potentiella energin där klotet ligger som $W = \rho V g z_0$ där $z_0$ är masscentrums höjd över planet $z = 0$ , vilket vi får som $z_0 = a - \frac{3a}{8} \cos \alpha$ . Alltså ges den potentiella energin av

W = \rho \frac{2\pi a^3}{3} g \cdot \frac{8a - 3a \cos \alpha}{8} = \rho g \frac{\pi a^4}{12} (8 - 3 \cos \alpha).

Ett annat sätt att beräkna detta är genom att använda sfäriska koordinater där vi lägger axeln genom polerna efter den linje på halvklotets platta sida som ligger horisontellt. Integrationsområdet ges då av $0 \leq \phi \leq \pi$ , $\alpha \leq \theta \leq \pi + \alpha$ och $0 \leq r \leq a$ . Höjden över planet ges av $a - r \sin \phi \sin \theta$ och vi beräknar trippelintegralen

\begin{array}{l} \int_{0}^{\pi} \int_{\alpha}^{\pi + \alpha} \int_{0}^{a} (a - r \sin \phi \sin \theta) r^{2} \sin \phi \, dr \, d\theta \, d\phi = aV - \int_{0}^{\pi} \sin^{2} \phi \, d\phi \int_{\alpha}^{\pi + \alpha} \sin \theta \, d\theta \int_{0}^{a} r^{3} \, dr \\ = \frac{2\pi a^{4}}{3} - \frac{\pi}{2} \left[ -\cos \theta \right]_{\alpha}^{\pi + \alpha} \left[ \frac{r^{4}}{4} \right]_{0}^{a} = \frac{2\pi a^{4}}{3} - \frac{\pi}{2} \cdot 2 \cos \alpha \cdot \frac{a^{4}}{4} = \frac{\pi a^{4}(8 - 3 \cos \alpha)}{12}. \end{array}

Vi behöver sedan multiplicera med konstanten $\rho g$ för att få den potentiella energin.