(b) Vi behöver se var det finns stationära punkter för $| \operatorname{grad} f(x, y) | $. Detta är detsamma som att se på stationära punkter för

g (x, y) = | \operatorname {grad} f (x, y) | ^ {2} = \left(\frac {\partial f}{\partial x}\right) ^ {2} + \left(\frac {\partial f}{\partial y}\right) ^ {2}.

Vi får gradienten för $g(x,y)$ som

\operatorname {grad} g (x, y) = \left(2 \frac {\partial f}{\partial x} \cdot \frac {\partial^ {2} f}{\partial x ^ {2}} + 2 \frac {\partial f}{\partial y} \cdot \frac {\partial^ {2} f}{\partial x \partial y}, 2 \frac {\partial f}{\partial y} \frac {\partial^ {2} f}{\partial x \partial y} + 2 \frac {\partial f}{\partial y} \cdot \frac {\partial^ {2} f}{\partial y ^ {2}}\right)

Vi kan beräkna andraderivatorna som

\begin{array}{l} \frac {\partial^ {2} f}{\partial x ^ {2}} = - \frac {6}{(1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2}) ^ {2}} + \frac {6 x \cdot 1 2 x}{(1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2}) ^ {3}} = - 6 \cdot \frac {1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2} - 1 2 x ^ {2}}{(1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2}) ^ {3}} = - 6 \cdot \frac {1 - 9 x ^ {2} + 4 y ^ {2}}{(1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2}) ^ {3}}, \\ \frac {\partial^ {2} f}{\partial x \partial y} = \frac {6 x \cdot 1 6 y}{(1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2}) ^ {3}} = \frac {9 6 x y}{(1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2}) ^ {3}}, \\ \frac {\partial^ {2} f}{\partial y ^ {2}} = - \frac {8}{(1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2}) ^ {2}} + \frac {8 y \cdot 1 6 y}{(1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2}) ^ {3}} = - 8 \cdot \frac {1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2} - 1 6 y ^ {2}}{(1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2}) ^ {3}} = - 8 \cdot \frac {1 + 3 x ^ {2} - 1 2 y ^ {2}}{(1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2}) ^ {3}}. \\ \end{array}

Vi får

\begin{array}{l} \frac {\partial g}{\partial x} = 2 \frac {\partial f}{\partial x} \cdot \frac {\partial^ {2} f}{\partial x ^ {2}} + 2 \frac {\partial f}{\partial y} \cdot \frac {\partial^ {2} f}{\partial x \partial y} = 2 \cdot \frac {3 6 x (1 - 9 x ^ {2} + 4 y ^ {2}) - 8 y \cdot 9 6 x y}{(1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2}) ^ {3}} = 2 4 x \cdot \frac {3 - 2 7 x ^ {2} - 5 2 y ^ {2}}{(1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2}) ^ {3}} \\ \frac {\partial g}{\partial y} = 2 \frac {\partial f}{\partial y} \frac {\partial^ {2} f}{\partial x \partial y} + 2 \frac {\partial f}{\partial y} \cdot \frac {\partial^ {2} f}{\partial y ^ {2}} = 2 \cdot \frac {6 4 y (1 + 3 x ^ {2} - 1 2 y ^ {2}) - 6 x \cdot 9 6 x y}{(1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2}) ^ {3}} = 1 2 8 y \cdot \frac {1 - 6 x ^ {2} - 1 2 y ^ {2}}{(1 + 3 x ^ {2} + 4 y ^ {2}) ^ {3}} \\ \end{array}

Vi ska nu se på stationära punkter till $g$ , dvs lösningar till $\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y} = 0$ .

Om $x = 0$ får vi att $y = 0$ eller $12y^{2} = 1$ , dvs $y = \pm 1 / \sqrt{12}$ och om $y = 0$ får vi $x = 0$ eller $27x^{2} = 3$ , dvs $x = \pm 1 / 3$ . Om både $x \neq 0$ och $y \neq 0$ får vi

\left\{ \begin{array}{r c l r c l} 2 7 x ^ {2} & + & 5 2 y ^ {2} & = & 3 \\ 6 x ^ {2} & + & 1 2 y ^ {2} & = & 1 \end{array} \right.

som ger $3x^{2} + 4y^{2} = -1$ om vi drar tre gånger den andra ekvationen från den första. Alltså finns inga reella lösningar till detta. De enda stationära punkterna till $g(x,y)$ är därmed $(0,0)$ , $(0, \pm 1/\sqrt{12})$ , $(\pm 1/3,0)$ . I den första punkten är $\operatorname{grad} f(0,0) = (0,0)$ . För de båda andra punkterna har vi

\operatorname{grad} f(0, \pm 1/\sqrt{12}) = \left(0, \frac{\mp 8/\sqrt{12}}{(1 + 0 + \frac{1}{3})^2}\right) = \left(0, \mp \frac{3\sqrt{3}}{4}\right)

och

\operatorname{grad} f(\pm 1/3, 0) = \left(\frac{\mp 6/3}{(1 + \frac{1}{3} + 0)^2}, 0\right) = \left(\mp \frac{9}{8}, 0\right)

Den största lutningen är vid $(0, \pm 1/\sqrt{12})$ eftersom

\frac{3\sqrt{3}}{4} > \frac{9}{8} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{27}{16} > \frac{81}{64} \quad \Longleftrightarrow \quad 1 > \frac{3}{4}.

Svar.

(a) Den brantaste lutningen vid $(a,b)$ är $2\sqrt{9a^2 + 16b^2} / (1 + 3a^2 + 4b^2)^2$ .

(b) Kullen lutar som brantast vid $(x,y) = (0, \pm 1/\sqrt{12})$ där lutningen är $3\sqrt{3}/4$ .