Integranden är positiv i hela $\mathbb{R}^2$ och vi kan jämföra den med andra integrander som är större för att avgöra konvergens. Vi har två orsaker som kan orsaka divergens, dels att området är obegränsat, dels att integranden är obegränsad nära origo.

Vi har att

\frac{x^2}{(1 + x^2)(x^2 + y^2)^{3/2}} \leq \frac{1}{(x^2 + y^2)^{3/2}}

och vi kan integrera över ett område $D_R$ mellan cirklarna med centrum i origo och radier 1 och $R$ , där $1 < R$ . Vi får

\iint_{D_R} \frac{x^2}{(1 + x^2)(x^2 + y^2)^{3/2}} \, dx\,dy \leq \iint_{D_R} \frac{1}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \, dx\,dy

Integralen till höger kan vi beräkna genom att införa polära koordinater och vi får

\iint_{D_R} \frac{1}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \, dx\,dy = \int_0^{2\pi} \int_1^R \frac{1}{r^3} r \, dr\,d\theta = \int_0^{2\pi} 1\,d\theta \int_1^R \frac{1}{r^2} \, dr = 2\pi \left[ -\frac{1}{r} \right]_1^R = 2\pi \left(1 - \frac{1}{R}\right) \leq 2\pi

oberoende av $R$ . Därmed är integralen konvergent över området $x^2 + y^2 \geq 1$ i $\mathbb{R}^2$ .

Vi ser sedan på området som ges av enhetscirkeln. Där har vi

\frac{x^2}{(1 + x^2)(x^2 + y^2)^{3/2}} \leq \frac{x^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}}

och vi får

\iint_C \frac{x^2}{(1 + x^2)(x^2 + y^2)^{3/2}} \, dx\,dy \leq \iint_C \frac{x^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \, dx\,dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{r^2 \cos^2 \theta}{r^3} r \, dr\,d\theta = \int_0^{2\pi} \cos^2 \theta \, d\theta \int_0^1 1 \, dr = \pi \cdot [r]_0^1 = \pi

där vi använt oss av att

\int_0^{2\pi} \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = \frac{1}{2} [\theta]_0^{2\pi} = \pi.

Sammantaget får vi att integralen är konvergent och dess värde är mindre än $3\pi$ .