Lösning. Vi söker kritiska punkter $(x, y, z)$ med Lagranges multiplikatormetod. Vi ska alltså hitta lösningar till

\nabla f = \lambda \nabla g

för något tal $\lambda$ , där $g$ kommer från villkoret $g(x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0$ . Eftersom $\nabla f = (2y, 2x + 2z, 2y)$ och $\nabla g = (2x, 2y, 2z)$ får vi ekvationssystemet

\left\{ \begin{array}{l} 2y = 2\lambda x, \\ 2x + 2z = 2\lambda y, \\ 2y = 2\lambda z, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1. \end{array} \right.

Om $\lambda = 0$ är $y = 0$ från första eller tredje ekvationen, och då är $f(x,y,z) = 0$ . Eftersom 0 uppenbart inte är största eller minsta värde antar vi att $\lambda \neq 0$ .

Från första och tredje ekvationen får vi $2\lambda x = 2\lambda z$ , och alltså är $x = z$ . Enligt andra ekvationen blir då $4x - 2\lambda y = 0$ , dvs. $2x - \lambda y = 0$ , medan enligt första ekvationen $2y - 2\lambda x = 0$ , dvs. $y - \lambda x = 0$ . Multiplikation med $x$ respektive $y$ ger relationerna $2x^{2} - \lambda xy = 0$ och $y^{2} - \lambda xy = 0$ . Vi sluter oss till att $y^{2} = 2x^{2}$ . Fjärde ekvationen säger nu att $x^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{2} + 2x^{2} + x^{2} = 1$ så att $x^{2} = \frac{1}{4}$ eller $x = \pm \frac{1}{2}$ . Eftersom $y^{2} = 2x^{2} = \frac{1}{2}$ får vi $y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ , där tecknen för $x$ och $y$ är oberoende av varandra. Slutligen har vi att $z = x$ , och vi har funnit fyra kritiska punkter,

\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right), \quad \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right), \quad \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{2}\right), \quad \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{2}\right).

där $f$ antar värdena

f \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right) = f \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{2}\right) = \sqrt{2}, f \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right) = f \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{2}\right) = -\sqrt{2}.

Det största värdet är alltså $\sqrt{2}$ och det minsta värdet är $-\sqrt{2}$ .