Lösning. Vi börjar med att bestämma $R$ som en funktion av $a$ , $b$ , och $h$ . Pythagoras sats ger att

R^2 = a^2 + h_1^2

R^2 = b^2 + h_2^2

så vi har sambanden

R^2 = a^2 + h_1^2, \quad R^2 = b^2 + h_2^2, \quad h = h_1 - h_2.

Genom att eliminera $h_1$ får vi

R^2 = a^2 + (h + h_2)^2, \quad R^2 = b^2 + h_2^2.

Om vi löser ut $h_2$ ur den andra av dessa ekvationer, $h_2 = \sqrt{R^2 - b^2}$ , och sätter in i den första får vi

\begin{array}{l} R^2 = a^2 + \left(h + \sqrt{R^2 - b^2}\right)^2 \\ = a^2 + h^2 + 2h\sqrt{R^2 - b^2} + R^2 - b^2. \end{array}

Vi skriver om detta till

2h\sqrt{R^2 - b^2} = b^2 - a^2 - h^2

och kvadrerar för att få

4h^2(R^2 - b^2) = (b^2 - a^2 - h^2)^2

eller

R^2 = b^2 + \frac{(b^2 - a^2 - h^2)^2}{4h^2}.

Detta samband ger $R = R(a,b,h)$ . När vi derivar med avseende på $a, b$ , och $h$ , får vi

\begin{array}{l} 2 R R _ {a} ^ {\prime} = \frac {2 (b ^ {2} - a ^ {2} - h ^ {2})}{4 h ^ {2}} \cdot (- 2 a) = - \frac {a (b ^ {2} - a ^ {2} - h ^ {2})}{h ^ {2}}, \\ 2 R R _ {b} ^ {\prime} = 2 b + \frac {2 (b ^ {2} - a ^ {2} - h ^ {2})}{4 h ^ {2}} \cdot 2 b = 2 b + \frac {b (b ^ {2} - a ^ {2} - h ^ {2})}{h ^ {2}}, \\ 2 R R _ {h} ^ {\prime} = \frac {2 (b ^ {2} - a ^ {2} - h ^ {2})}{4 h ^ {2}} \cdot (- 2 h) - 2 \frac {(b ^ {2} - a ^ {2} - h ^ {2}) ^ {2}}{4 h ^ {3}} \\ = - \frac {b ^ {2} - a ^ {2} - h ^ {2}}{h} - \frac {(b ^ {2} - a ^ {2} - h ^ {2}) ^ {2}}{2 h ^ {3}}, \\ \end{array}

eller

R _ {a} ^ {\prime} = - \frac {a (b ^ {2} - a ^ {2} - h ^ {2})}{2 R h ^ {2}}, R _ {b} ^ {\prime} = \frac {b}{R} + \frac {b (b ^ {2} - a ^ {2} - h ^ {2})}{2 R h ^ {2}}, R _ {h} ^ {\prime} = - \frac {b ^ {2} - a ^ {2} - h ^ {2}}{2 R h} - \frac {(b ^ {2} - a ^ {2} - h ^ {2}) ^ {2}}{4 R h ^ {3}},

När $a = 3$ , $b = 4$ och $h = 1$ så är $b^{2} - a^{2} - h^{2} = 6$ och

R = \sqrt {16 + \frac {6 ^ {2}}{4}} = 5, R _ {a} ^ {\prime} = - \frac {3 \cdot 6}{2 \cdot 5} = - \frac {18}{10} R _ {b} ^ {\prime} = \frac {4}{5} + \frac {4 \cdot 6}{2 \cdot 5} = \frac {32}{10}, R _ {h} ^ {\prime} = - \frac {6}{2 \cdot 5} - \frac {6 ^ {2}}{4 \cdot 5} = - \frac {24}{10}.

Linjariseringsformeln ger att

\begin{array}{l} R (3 + \Delta a, 4 + \Delta b, 1 + \Delta h) \\ = R (3, 4, 1) + R _ {a} ^ {\prime} (3, 4, 1) \Delta a + R _ {b} ^ {\prime} (3, 4, 1) \Delta b + R _ {h} ^ {\prime} (3, 4, 1) \Delta h + \text{restterm} \\ = 5 - \frac {18}{10} \Delta a + \frac {32}{10} \Delta b - \frac {24}{10} \Delta h + \text{restterm}. \\ \end{array}

Om vi försummer resttermen får vi att

\begin{array}{l} \left| R (3 + \Delta a, 4 + \Delta b, 1 + \Delta h) - R (3, 4, 1) \right| \\ \leq \left| - \frac {18}{10} \Delta a + \frac {32}{10} \Delta b - \frac {24}{10} \Delta h \right| \\ \leq \frac {18}{10} | \Delta a | + \frac {32}{10} | \Delta b | + \frac {24}{10} | \Delta h | \\ \end{array}

\begin{array}{l} |R(3 + \Delta a, 4 + \Delta b, 1 + \Delta h) - R(3, 4, 1)| \\ \leq \frac{18}{10} \cdot 0,01 + \frac{32}{10} \cdot 0,01 + \frac{24}{10} \cdot 0,01 \\ = 0,074. \end{array}

Vi kommer fram till att $R = 5 \pm 0,08$ .