b) Alternativ 1: Funktionen $f$ är differentierbar i origo om den har kontinuerliga partiella derivator i en omgivning av origo. Vi visar detta för $\partial f / \partial x$ .

I punkter $(x, y) \neq (0, 0)$ är

\partial f / \partial x = \frac{x^4 y + 4x^2 y^3 - y^5}{(x^2 + y^2)^2}.

vilket är en kontinuerlig funktion. I origo har vi

\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left(f(0 + h, 0) - f(0, 0)\right) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot 0 = 0.

Som i deluppgift a) beräknar vi gränsvärdet av $\partial f / \partial x$ genom att övergå till polära koordinater,

\begin{aligned} \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) &= \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^4 y + 4x^2 y^3 - y^5}{(x^2 + y^2)^2} \\ &= \lim_{r \to 0} \frac{r^5 \left(\cos^4 \varphi \sin \varphi + 4 \cos^2 \varphi \sin^3 \varphi - \sin^5 \varphi\right)}{r^4} \\ \begin{array}{l} = \lim_{r \to 0} r \left(\cos^{4} \varphi \sin \varphi + 4 \cos^{2} \varphi \sin^{3} \varphi - \sin^{5} \varphi\right) \\ = 0 \\ = \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0), \end{array} \end{aligned}

och vi drar slutsatsen att $\partial f / \partial x$ är kontinuerlig även i origo.

På samma sätt visar man att $\partial f / \partial y$ är en kontinuerlig funktion, och vi drar slutsatsen att $f$ är en differentierbar funktion.

Alternativ 2: Vi kontrollerar att $f$ är differentierbar utgående från definitionen. Enligt definitionen är $f$ differentierbar i origo om det finns konstanter $A_1$ , $A_2$ , och en funktion $\rho(x, y)$ så att

f(0 + h, 0 + k) - f(0, 0) = A_1 h + A_2 k + |(h, k)| \rho(h, k)

och

\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \rho(h, k) = 0.

Om vi löser ut $\rho$ ur den första ekvationen ser vi att det andra villkoret är det samma som

\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{f(0 + h, 0 + k) - f(0, 0) - A_1 h - A_2 k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0.

I fall detta är uppfyllt så är konstanterna $A_1$ och $A_2$ lika med värdet av de partiella derivatorna i punkten. Ovan har vi sett dessa partiella derivator har värdet noll. Vi gör alltså den kvalificerade gissningen att $A_1 = A_2 = 0$ , och visar att gränsvärdet är noll med detta val,

\begin{array}{l} \lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{f(0 + h, 0 + k) - f(0, 0) - A_1 h - A_2 k}{\sqrt{h^2 + k^2}} \\ = \lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{\frac{h^3 k - h k^3}{h^2 + k^2}}{\sqrt{h^2 + k^2}} \\ = \lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{h^3 k - h k^3}{(h^2 + k^2)^{3/2}} \\ = \lim_{r \to 0} \frac{r^4 (\cos^3 \varphi \sin \varphi - \cos \varphi \sin^3 \varphi)}{r^3} \\ = \lim_{r \to 0} r (\cos^3 \varphi \sin \varphi - \cos \varphi \sin^3 \varphi) \\ = 0. \end{array}

Vi har alltså visat att kravet i definitionen av differentierbarhet är uppfyllt med konstanterna $A_1 = A_2 = 0$ .

Svar: -