Lösning. Sätt $g(x, y) = x^2 + xy + y^2$ . Då ges ellipsskivan av $g(x, y) \leq 3$ och dess rand (en ellips) av $g(x, y) = 3$ .

Funktionen $f$ är ett polynom och är därför en kontinuerlig funktion. Ellipsskivan är en begränsad mängd som innehåller sin rand (punkter på ellipsen $g(x, y) = 3$ uppfyller $g(x, y) \leq 3$ ) och är således en kompakt mängd. Dessa saker tillsammans innebär att $f$ garanterat antar ett största och minsta värde på ellipsskivan.

Eftersom funktionen $f$ är en kontinuerligt deriverbar funktion kan den bara anta sitt största och minsta värde i följande typer av punkter:

inre stationära punkter, dvs. punkter där $\nabla f = (0,0)$ ,
randpunkter där Lagrangevillkoret är uppfyllt, dvs. randpunkter där $\nabla f$ är parallell med $\nabla g$ ,
singulära randpunkter, dvs. randpunkter där $\nabla g = (0,0)$ .

Vi tar därför fram de punkter som uppfyller något av dessa tre villkor.

Gradienten av $f$ är

\nabla f = (f_x', f_y') = (y, x)

och sätter vi den lika med nollvektorn $(0,0)$ får vi direkt att $x = y = 0$ .

Det finns alltså en inre stationär punkt $(0,0)$ som också ligger inuti ellipsskivan eftersom $g(0,0) = 0 \leq 3$ .

Lagrangevillkoret att $\nabla f(y, x)$ är parallell med $\nabla g = (2x + y, x + 2y)$ innebär att $\nabla f$ och $\nabla g$ är linjärt beroende och därför måste determinanten

\left| \begin{array}{c} - \nabla f - \\ - \nabla g - \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} y & x \\ 2 x + y & x + 2 y \end{array} \right| = 2 y^2 - 2 x^2 = 2 (y - x) (y + x)

vara lika med noll. Detta ger oss två fall:

$x = y$ : Randvillkoret $g(x, y) = 3$ ger oss då ekvationen $3x^2 = 3$ som har lösningarna $x = \pm 1$ . Vi har alltså två punkter $(-1, -1)$ och $(1, 1)$ .
$x = -y$ : Då ger randvillkoret $g(x, y) = 3$ oss att $x^2 = 3$ som har lösningarna $x = \pm \sqrt{3}$ . Vi har därmed de två punkterna $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ och $(\sqrt{3}, -\sqrt{3})$ .

I singulära punkter är

\nabla g = (2 x + y, x + 2 y) = (0, 0).

Detta ger oss det linjära ekvationssystemet

\begin{array}{l} 2 x + y = 0, \\ x + 2 y = 0, \end{array}

som har lösningen $x = y = 0$ . Punkten $(0, 0)$ är dock inte en randpunkt ty $g(0, 0) \neq 3$ .

Det finns alltså fem punkter

(0, 0), \quad (-1, -1), \quad (-\sqrt{3}, \sqrt{3}), \quad (\sqrt{3}, -\sqrt{3}) \quad \text{och} \quad (1, 1)

där största och minsta värde för $f$ kan antas. Eftersom

f(0, 0) = 0, \quad f(-1, -1) = 1, \quad f(-\sqrt{3}, \sqrt{3}) = -3, f(\sqrt{3}, -\sqrt{3}) = -3 \quad \text{och} \quad f(1, 1) = 1

ser vi att på ellipsskivan antar $f$ det största värdet 1 i punkterna $(-1, -1)$ och $(1, 1)$ , och det minsta minsta värdet $-3$ i punkterna $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ och $(\sqrt{3}, -\sqrt{3})$ .

Svar: Största värde är 1 och minsta värde är $-3$ .