b) Integralen är generaliserad eftersom både integrationsområdet $D$ är obegränsat och integranden är obegränsad nära $(x,y) = (0,0)$ . Därför skriver vi integralen som

\iint_D \frac{e^{-(x^2 + y^2)}}{(x^2 + y^2)^{1/7}} dx\,dy = \iint_{D_1} \frac{e^{-(x^2 + y^2)}}{(x^2 + y^2)^{1/7}} dx\,dy + \iint_{D_2} \frac{e^{-(x^2 + y^2)}}{(x^2 + y^2)^{1/7}} dx\,dy \quad (*)

där integrationsområdet $D_1$ för den första integralen i högerledet innehåller integrandens singularitet medan den andra integralen har ett obegränsat integrationsområde $D_2$ .

I området $D_1$ gäller att $e^{-x^2 - y^2}$ antar sitt största värde i $(0,0)$ , dvs. $e^{-x^2 - y^2} \leq e^{-0^2 - 0^2} = 1$ och vi har därför att

\frac{e^{-x^2 - y^2}}{(x^2 + y^2)^{1/7}} \leq \frac{1}{(x^2 + y^2)^{1/7}}.

Eftersom integralen

\iint_{D_1} \frac{dx\,dy}{(x^2 + y^2)^{1/7}}

är konvergent enligt deluppgift a så ger jämförelsekriteriet att integralen

\iint_{D_1} \frac{e^{-(x^2 + y^2)}}{(x^2 + y^2)^{1/7}} dx\,dy

är konvergent.

På området $D_{2}$ antar $1 / (x^{2} + y^{2})^{1 / 7}$ sitt största värde på kvartscirkeln där $x^{2} + y^{2} = 1$ , dvs. $1 / (x^{2} + y^{2})^{1 / 7} \leq 1 / 1^{1 / 7} = 1$ . Vi har därmed att

\frac {e ^ {- x ^ {2} - y ^ {2}}}{(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {1 / 7}} \leq e ^ {- x ^ {2} - y ^ {2}}

och eftersom integralen

\iint_ {D _ {2}} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} d x d y

är konvergent enligt deluppgift a visar jämförelsekriteriet att integralen

\iint_ {D _ {2}} \frac {e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})}}{(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {1 / 7}} d x d y

också är konvergent.

Vi har nu visat att båda integralerna i högerledet av $(\ast)$ är konvergenta och detta visar att även

\iint_ {D} \frac {e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})}}{(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {1 / 7}} d x d y

är konvergent.

Svar:

b) konvergent