Lösningsförslag. Halvsfärens ekvation kan skrivas som $y = \sqrt{1 - (x^2 + z^2)}$ , dvs. som en parameterytan med $x$ och $z$ som parametrar,

(x, z) \mapsto \left(x, \sqrt{1 - (x^{2} + z^{2})}, z\right).

Då blir ytans arealement

\begin{aligned} dS &= \sqrt{1 + (y_{x}^{\prime})^{2} + (y_{z}^{\prime})^{2}} \, dx \, dz \\ &= \sqrt{1 + \left(\frac{-x}{\sqrt{1 - (x^{2} + z^{2})}}\right)^{2} + \left(\frac{-z}{\sqrt{1 - (x^{2} + z^{2})}}\right)^{2}} \, dx \, dz \\ &= \frac{dx \, dz}{\sqrt{1 - (x^{2} + z^{2})}}. \end{aligned}

Ytans projektion $D$ i $xz$ -planet är området som i $x$ -led begränsas av cirkelbågarna $x = \pm \sqrt{1 - z^2}$ och i $z$ -led av linjerna $z = \pm 1 / \sqrt{2}$ . Vi observerar att $x^2 + y^2 = 1 - z^2$ på $S$ och därför är

\begin{aligned} Q &= \iint_{S} \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \, dS \\ &= \iint_{D} \frac{dx \, dz}{\sqrt{1 - z^{2}}} \\ &= \int_{-1 / \sqrt{2}}^{1 / \sqrt{2}} \left(\int_{-\sqrt{1 - z^{2}}}^{\sqrt{1 - z^{2}}} dx\right) \frac{dz}{\sqrt{1 - z^{2}}} \\ &= 2 \int_{-1 / \sqrt{2}}^{1 / \sqrt{2}} dz \\ &= 2 \sqrt{2} \end{aligned}

Anm. Ett alternativ är att använda sfäriska koordinater.

Svar. $2\sqrt{2}$