Om vi låter $z$ -axeln sammanfalla med halvklotets symmetriaxel kan vi sedan införa rymdpolära koordinater med centrum i $(0,0,R)$ , så att $x = r \sin \vartheta \cos \varphi$ , $y = r \sin \vartheta \sin \varphi$ och $z = R + r \cos \vartheta$ . Jakobianen för detta koordinatbyte är $r^2 \sin \vartheta$ och halvklotet beskrivs då av $0 \leq r \leq R$ , $\pi/2 \leq \vartheta \leq \pi$ och $0 \leq \varphi < 2\pi$ . Vi får

\begin{array}{l} W = \iiint_{K} g z \, dm = g \varrho \iiint_{K} z \, dx \, dy \, dz \\ = g \varrho \int_{0}^{R} \left( \int_{\pi/2}^{\pi} \left( \int_{0}^{2\pi} (R + r \cos \vartheta) r^{2} \sin \vartheta \, d\varphi \right) d\vartheta \right) dr \\ = 2\pi g \varrho \int_{0}^{R} \left( \int_{\pi/2}^{\pi} \left( R r^{2} \sin \vartheta + r^{3} \cos \vartheta \sin \vartheta \right) d\vartheta \right) dr \\ = 2\pi g \varrho \int_{0}^{R} \left( R r^{2} - r^{3}/2 \right) dr \\ = \frac{5\pi g \varrho R^{4}}{12}. \end{array}

Svar: $W = \frac{5\pi g \varrho R^{4}}{12}$ .