Vi inför koordinater så att det stora klotet har medelpunkt i origo och det lilla klotet i $(0,0,R)$ . Skärningspunkter mellan klotens begränsningsytor fås då när $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ och $x^{2} + y^{2} + (z - R)^{2} = r^{2}$ båda är uppfyllda, dvs då $z = R - r^{2}/2R$ och $x^{2} + y^{2} = r^{2} - r^{4}/4R^{2}$ . Den del av det mindre klotet som ligger inuti det större klotet kan nu beskrivas så att $R - \sqrt{r^{2} - x^{2} - y^{2}} \leq z \leq \sqrt{R^{2} - x^{2} - y^{2}}$ och $x^{2} + y^{2} \leq r^{2} - r^{4}/4R^{2}$ . Kalla projektionen av denna mängd på $xy$ -planet för $D$ . Med hjälp av polära koordinater $(x = v\cos \varphi$ och $y = v\sin \varphi)$ får vi nu den sökta volymen $V$ som

\begin{array}{l} V = \iint_{D} \left(\sqrt{R^{2} - x^{2} - y^{2}} - R + \sqrt{r^{2} - x^{2} - y^{2}}\right) dx dy \\ = 2\pi \int_{0}^{\sqrt{r^{2} - r^{4}/4R^{2}}} \left(\sqrt{R^{2} - v^{2}} - R + \sqrt{r^{2} - v^{2}}\right) v \, dv \\ = 2\pi \left[ - \frac{(R^{2} - v^{2})^{3/2}}{3} - \frac{Rv^{2}}{2} - \frac{(r^{2} - v^{2})^{3/2}}{3} \right]_{0}^{\sqrt{r^{2} - r^{4}/4R^{2}}} \\ = 2\pi \left[ \frac{r^{3}}{3} + \frac{R^{3}}{3} - \frac{\left(R^{2} - r^{2} + \frac{r^{4}}{4R^{2}}\right)^{3/2}}{3} - \frac{R\left(r^{2} - \frac{r^{4}}{4R^{2}}\right)}{2} - \frac{\left(\frac{r^{4}}{4R^{2}}\right)^{3/2}}{3} \right], \end{array}

vilket med viss möda (det gäller att se att uttrycken under rottecknen är jämna kvadrater) kan förenklas till

\frac{2\pi r^{3}}{3} - \frac{\pi r^{4}}{4R}.

(Observera att om $R \to \infty$ i uttrycket ovan så går den andra termen mot 0 och vi får volymen av ett halvklot, precis som förväntat i det fallet.)