Låt $f(x, y) = x^3 + y^2$ . Vi ska då hitta största och minsta värde av $f$ på området $3x^2 + 2y^2 \leq 4$ . Vi observerar först att området är kompakt (slutet och begränsat) och att $f$ är ett polynom och följaktligen kontinuerlig och differentierbar på det givna området. Därför vet vi att $f$ antar ett största och ett minsta värde, som måste antas i punkter på randen eller i inre kritiska punkter. För att hitta kritiska punkter deriverar vi partiellt och får att

\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 \quad \text{och} \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y.

Vi ser att den enda kritiska punkten är $(x, y) = (0, 0)$ där funktionsvärdet är 0. Eftersom $f$ uppenbart antar såväl positiva som negativa värden kan detta varken vara max eller min. Dessa måste alltså antas på randen, dvs då $3x^2 + 2y^2 = 4$ . På randen ser vi att $y^2 = 2 - 3x^2/2$ och insättning av detta i funktionen $f$ ger att på randen är $f(x, y) = x^3 + 2 - 3x^2/2 = h(x)$ , en funktion av en variabel som vi nu ska undersöka på intervallet $-2/\sqrt{3} \leq x \leq 2/\sqrt{3}$ . Eftersom detta intervall är slutet och begränsat och $h$ är kontinuerlig på intervallet så vet vi att $h$ tar ett största och ett minsta värde. Dessa kan antas i kritiska punkter, ändpunkter, eller i punkter där derivata saknas. Vi deriverar och får $h'(x) = 3x^2 - 3x$ som existerar överallt och är noll om och endast om $x = 0$ eller $x = 1$ , som ligger i intervallet. Vi jämför nu funktionsvärdena i de punkter vi har funnit:

h(0) = 2, \quad h(1) = \frac{3}{2}, \quad h(-2/\sqrt{3}) = -\frac{8}{3\sqrt{3}}, \quad h(2/\sqrt{3}) = \frac{8}{3\sqrt{3}}.

Vi ser att största värdet är 2 som antas i punkterna $(0, \pm\sqrt{2}, 2)$ och minsta är $-8/3\sqrt{3}$ som antas i punkten $(-2/\sqrt{3}, 0, -8/3\sqrt{3})$ .