Lösning. Vi observerar först att området är kompakt (slutet och begränsat) och att $f$ är ett polynom och följaktligen kontinuerlig och differentierbar på det givna området. Därför vet vi att $f$ antar ett största och ett minsta värde, som måste antas i punkter på randen eller i inre kritiska punkter. För att hitta kritiska punkter deriverar vi partiellt och får att

\frac {\partial f}{\partial x} = y + 1 \text{ och } \frac {\partial f}{\partial y} = x.

Vi ser att den enda kritiska punkten är $(x,y) = (0, -1)$ som ligger på randen. Det finns alltså inga inre kritiska punkter. Vi undersöker nu randpunkterna, dvs de punkter där $x^{2} + y^{2} = 1$ . Vi parametriserar randen genom $x = \cos t$ , $y = \sin t$ , där $t$ löper mellan 0 och $2\pi$ . Vi ska då hitta max och min av funktionen

g (t) = f (\cos t, \sin t) = \cos t \sin t + \cos t = \frac {\sin 2 t}{2} + \cos t, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi .

Vi ser att $g$ måste anta ett största och ett minsta värde, eftersom $g$ är kontinuerlig och intervallet slutet och begränsat, och dessa värden antas i ändpunkter eller i inre kritiska punkter (punkter där derivata saknas saknas). Vi deriverar och får $g'(t) = \cos 2t - \sin t$ och ser att $g'(t) = 0$ om och endast om $\cos 2t = \sin t$ vilket är ekvivalent med att $\cos 2t = \cos (\pi / 2 - t)$ med lösningar $2t = \pm (\pi / 2 - t) + k2\pi$ , $k$ heltal. I det aktuella intervallet får vi lösningarna $t = \pi / 6$ , $t = 5\pi / 6$ , $t = 3\pi / 2$ . Änpdpunkterna på intervallet är 0 och $2\pi$ . Vi skriver upp funktionsvärdena i alla dessa punkter för jämförelse:

g (0) = g (2 \pi) = 1, \quad g (\pi / 6) = \frac {3 \sqrt {3}}{4}, \quad g (5 \pi / 6) = - \frac {3 \sqrt {3}}{4}, \quad g (3 \pi / 2) = 0.

När vi jämför dessa värden ser vi att det största värdet är $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ och det minsta värdet är $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ .