Vi kan se problemet som att finna största och minsta värden för funktionerna $f(x,y) = x$ och $g(x,y) = y$ under bivillkoret $h(x,y) = 0$ där $h(x,y) = 2x^2 - 2xy + y^2 + 2x - 2y - 17$ .

I dessa punkter ska gradienten för $f$ vara parallell med gradienten för $h$ . Vi har $\nabla f(x,y) = (1,0)$ och $\nabla h(x,y) = (4x - 2y + 2, 2y - 2x - 2)$ och dessa är parallella när $2y - 2x - 2 = 0$ , dvs när $y = x + 1$ . Vi sätter in det i ekvationen $h(x,y) = 0$ och får

2x^2 + (x + 1)^2 - 2x(x + 1) + 2x - 2(x + 1) = 17 \Leftrightarrow x^2 = 18 \Leftrightarrow x = \pm 3\sqrt{2}

vilket ger $y = x + 1 = 1 \pm 3\sqrt{2}$ . Alltså ges de största och minsta värdena för $f(x,y) = x$ av $\pm 3\sqrt{2}$ .

Vi ser nu på största och minsta värde för $g(x,y) = y$ . I dessa punkter ska vi ha $\nabla g$ parallell med $\nabla h$ . Eftersom $\nabla g(x,y) = (0,1)$ , ges dessa punkter av $4x - 2y + 2 = 0$ , dvs $y = 2x + 1$ . Vi sätter in detta i ekvationen $h(x,y) = 0$ och får

2x^2 + (2x + 1)^2 - 2x(2x + 1) + 2x - 2(2x + 1) = 17 \Leftrightarrow 2x^2 = 18 \Leftrightarrow x = \pm 3

vilket ger $y = 2x + 1 = 1 \pm 6$ . Alltså ges de största och minsta värdena för $g(x,y) = y$ av $1 \pm 6$ .

Därmed ges den största axelparallella rektangeln som innesluter ellipsen av $-3\sqrt{2} \leq x \leq 3\sqrt{2}$ och $-5 \leq y \leq 7$ .

Vi kan också skriva om ekvationen med kvadratkomplettering som $x^2 + (y - x - 1)^2 = 18$ där vi kan se övre och undre gränser för $x$ direkt. Genom att lösa ekvationen i $y$ får vi $y = x + 1 \pm \sqrt{18 - x^2}$ och vi kan maximera $y$ som funktion av $x$ som en envariabelfunktion, vilket ger $x = \pm \sqrt{18 - x^2}$ som har lösningar $x = \pm 3$ och $y = 1 \pm 6$ som tidigare.