Funktionen $g$ ges som en sammansättning av $f$ och $\Phi$ där $\Phi(r,\theta) = (r\cos \theta, r\sin \theta)$ . Kedjeregeln formulerad för Jacobimatriserna ger därmed $Dg = DfD\Phi$ och om vi skriver ut det får vi

\left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial g}{\partial r} & \frac{\partial g}{\partial \theta} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial \Phi_1}{\partial r} & \frac{\partial \Phi_1}{\partial \theta} \\ \frac{\partial \Phi_2}{\partial r} & \frac{\partial \Phi_2}{\partial \theta} \end{array} \right].

I punkten $(r,\theta) = (2,\pi/3)$ har vi $\Phi(2,\pi/3) = (1,\sqrt{3})$ och

D\Phi = \left[ \begin{array}{cc} \cos \theta & - r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{array} \right] \quad \Longrightarrow \quad D\Phi (2, \pi / 3) = \left[ \begin{array}{cc} 1 / 2 & - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} / 2 & 1 \end{array} \right].

Vi kan invertera denna och eftersom determinanten är $r = 2$ får vi

\left[ \begin{array}{cc} 1 / 2 & - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} / 2 & 1 \end{array} \right]^{-1} = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{cc} 1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} / 2 & 1 / 2 \end{array} \right]

och

Df(1, \sqrt{3}) = Dg(2, \pi / 3) (D\Phi(2, \pi / 3))^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & 9 \end{array} \right] \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{cc} 1 & \sqrt{3} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right] = \left[ -2\sqrt{3} \quad 3 \right].

Därmed är

\frac{\partial f}{\partial x} (1, \sqrt{3}) = -2\sqrt{3} \quad \text{och} \quad \frac{\partial f}{\partial y} (1, \sqrt{3}) = 3.