Med kvot- och kedjeregeln får vi att

\begin{array}{l} f'(x) = \frac{\frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 2}} \cdot x - (1 + \sqrt{x^2 - 2}) \cdot 1}{x^2} \\ = \frac{\frac{2}{\sqrt{x^2 - 2}} - 1}{x^2} \end{array}

Alltså är

f'(x) = 0 \iff \sqrt{x^2 - 2} = 2 \iff x^2 - 2 = 4 \iff x^2 = 6 \iff x = \pm \sqrt{6}.

Tecknet bestäms av faktorn $\frac{2}{\sqrt{x^2 - 2}} - 1$ , och vi får teckentabellen

| x | | -\sqrt{6} | | -\sqrt{2} | | \sqrt{2} | | \sqrt{6} | |


f'(x)	-	0	+	ej def.	ej def.	ej def.	+	0	-
f(x)	\		\		ej def.		\		\

Alltså är $f$ avtagande på $(-\infty, -\sqrt{6})$ och $(\sqrt{6}, \infty)$ samt växande på $(-\sqrt{6}, -\sqrt{2}]$ och $[\sqrt{2}, \sqrt{6})$ .
Vi får följande lokala extremvärden

f(\sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad f(\sqrt{6}) = \frac{3}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}}, \quad f(-\sqrt{2}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad f(-\sqrt{6}) = -\sqrt{\frac{3}{2}}.

Eftersom $f$ är kontinuerlig får vi med satsen om mellanliggande värden och ovanstående information att ekvationen $f(x) = y$ har

0 lösningar om $|y| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ eller $|y| > \sqrt{\frac{3}{2}}$ .
1 lösning om $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq |y| \leq 1$ eller $|y| = \sqrt{\frac{3}{2}}$ .
2 lösningar om $1 < |y| < \sqrt{\frac{3}{2}}$ .