Låt funktionen $f$ vara given av $f(x) = (x^{2} - 1)e^{-x} - 10$ . Frågan är hur många lösningar ekvationen $f(x) = 0$ har.

Funktionen $f$ är definierad för alla $x \in \mathbb{R}$ och är kontinuerlig.

Derivatan till $f$ är

\begin{array}{l} f'(x) = 2xe^{-x} - (x^{2} - 1)e^{-x} \\ = -(x^{2} - 2x - 1)e^{-x} \\ = -(x - 1 - \sqrt{2})(x - 1 + \sqrt{2})e^{-x}. \end{array}

Vi får teckentabellen

x		1 - $\sqrt{2}$		1 + $\sqrt{2}$
f'(x)	-	0	+	0	-
f(x)	↘	min	↗	max	↘

Eftersom

\begin{array}{l} f(1 + \sqrt{2}) = ((1 + \sqrt{2})^{2} - 1)e^{-1 - \sqrt{2}} - 10 \\ = (2 + 2\sqrt{2})e^{-1 - \sqrt{2}} - 10 \\ < (2 + 2 \cdot 2) \cdot 1 - 10 = -4 < 0 \end{array}

ser vi att ekvationen $f(x) = 0$ saknar lösningar på intervallet $[1 - \sqrt{2}, \infty)$ .

Eftersom

\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left((x^{2} - 1)e^{-x} - 10\right) = \infty

och $f(1 - \sqrt{2}) < f(1 + \sqrt{2}) < 0$ så ger satsen om mellanliggande värde att ekvationen $f(x) = 0$ har minst en lösning på intervallet $(-\infty, 1 - \sqrt{2}]$ . Eftersom $f$ är strängt avtagande och därmed injektiv på intervallet, så har ekvationen precis en lösning på intervallet.