Lösning. Vi noterar att $\sqrt{x} > 0$ och $x(\ln x)^6 \geq 0$ för alla $x > 0$ . Speciellt gäller att integranden är kontinuerlig och uppfyller $0 < \frac{1}{\sqrt{x} + x(\ln x)^6} < \infty$ för $x > 0$ . För $x \geq 2$ , så har vi

\frac{1}{\sqrt{x} + x (\ln x)^6} \leq \frac{1}{x (\ln x)^6}.

Eftersom

\begin{array}{l} \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x (\ln x)^6} dx = \lim_{X \to \infty} \int_{2}^{X} \frac{1}{x (\ln x)^6} dx = - \left[ \frac{1}{5 (\ln x)^5} \right]_{2}^{X} \\ = - \lim_{X \to \infty} \frac{1}{5 (\ln X)^5} + \frac{1}{5 (\ln 2)^5} = \frac{1}{5 (\ln 2)^5} < \infty, \end{array}

så följer det att integralen $\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x} + x(\ln x)^6}$ är konvergent. För $0 < x \leq 1$ , så har vi

\frac{1}{\sqrt{x} + x (\ln x)^6} \leq \frac{1}{\sqrt{x}}.

Eftersom

\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = [2\sqrt{x}]_{0}^{1} = 2 < \infty,

så följer det att integralen $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x} + x(\ln x)^6}$ också är konvergent. Vi har visat att den generaliserade integralen $\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{x} + x(\ln x)^6}$ är konvergent både nära $x = 0$ och nära $x = \infty$ , alltså är den konvergent.
Svar: Den generaliserade integralen är konvergent.