Låt $f(x) = \ln (1 + x)$ . Vi har $f'(x) = 1 / (1 + x) > 0$ för alla $x > -1$ , så $f$ är växande på intervallet $(-1, \infty)$ .

Fixera ett heltal $n \geq 1$ . Eftersom $f$ är växande så har vi för varje heltal $1 \leq k \leq n$ (notera att intervallet $[(k - 1)/n, k/n]$ har längd $1/n$ )

\frac {f ((k - 1) / n)}{n} \leq \int_ {(k - 1) / n} ^ {k / n} f (x) d x \leq \frac {f (k / n)}{n}.

Således har vi

\sum_ {k = 1} ^ {n} \frac {f ((k - 1) / n)}{n} \leq \int_ {0} ^ {1} f (x) d x \leq \sum_ {k = 1} ^ {n} \frac {f (k / n)}{n}.

Vi har (via variabelbytet $t = x + 1$ )

\int_ {0} ^ {1} f (x) d x = \int_ {0} ^ {1} \ln (1 + x) d x = \int_ {1} ^ {2} \ln t d t.

Partiell integration ger nu

\int_ {1} ^ {2} 1 \cdot \ln t d t = [ t \ln t ] _ {1} ^ {2} - \int_ {1} ^ {2} t \cdot \frac {1}{t} d t = 2 \ln 2 - 1.

Från den andra olikheten i (1) har vi alltså

2 \ln 2 - 1 \leq \sum_ {k = 1} ^ {n} \frac {\ln \left(1 + \frac {k}{n}\right)}{n} = \frac {1}{n} \sum_ {k = 1} ^ {n} \ln \left(1 + \frac {k}{n}\right),

vilket är den första delen av det vi vill visa.

Adderar vi $(\ln 2) / n$ på bägge sidor i den första delen av olikheten i (1) får vi

\left(\sum_ {k = 1} ^ {n} \frac {f ((k - 1) / n)}{n}\right) + \frac {\ln 2}{n} \leq \int_ {0} ^ {1} f (x) d x + \frac {\ln 2}{n} = 2 \ln 2 - 1 + \frac {\ln 2}{n}.

Eftersom $f(0) = \ln (1) = 0$ och $f(n / n) = f(1) = \ln 2$ ser vi att vänsterledet i olikheten ovan kan skrivas

\left(\sum_ {k = 1} ^ {n} \frac {f ((k - 1) / n)}{n}\right) + \frac {\ln 2}{n} = \sum_ {k = 1} ^ {n} \frac {f (k / n)}{n} = \frac {1}{n} \sum_ {k = 1} ^ {n} \ln \left(1 + \frac {k}{n}\right).

Detta ger den andra delen som vi ville visa.