Lösning. Vi vet att $\ln x$ är definierad för $x > 0$ , och att $\ln x < 0$ för $0 < x < 1$ , $\ln(1) = 0$ och $\ln x > 0$ för $x > 1$ . Detta betyder att funktionen $f$ är definierad för $x > 0$ och $x \neq 1$ .

Vi noterar att $f(x) < 0$ precis då nämnaren $x \ln x < 0$ , dvs då $0 < x < 1$ .

För att undersöka på vilka intervall som $f$ är växande respektive avtagande undersöker vi derivatan. Vi har

f'(x) = - \frac{1}{(x \ln x)^2} \cdot \frac{d}{dx} (x \ln x) = - \frac{1 + \ln x}{(x \ln x)^2}, \quad x > 0, x \neq 1.

Eftersom nämnaren aldrig kan vara negativ ges tecknet på $f'(x)$ av tecknet på $-(1 + \ln x)$ . Eftersom $1 + \ln x = 0$ har lösningen $x = e^{-1} < 1$ och eftersom $\ln x$ är en växande funktion ser vi att $f'(e^{-1}) = 0$ , $f'(x) > 0$ för $0 < x < e^{-1}$ och $f'(x) < 0$ då $e^{-1} < x < 1$ eller då $x > 1$ (och $f'(x)$ är ej definierad för $x = 1$ ). Således är $f$ växande på intervallet $(0, e^{-1}]$ och avtagande på intervalen $[e^{-1}, 1)$ och $(1, \infty)$ . Detta betyder att den kritiska punkten $x = e^{-1}$ är ett lokalt maximum.

Vi undersöker om det finns några asymptoter. Eftersom $x \ln x = 0$ för $x = 1$ (och täljaren är 1) så följer det att linjen $x = 1$ är en vertikal asymptot till grafen $y = f(x)$ . Vi ser också (eftersom $x \ln x > 0$ för $x > 1$ och $x \ln x < 0$ för $0 < x < 1$ ) att $\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \infty$ och $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = -\infty$ . Eftersom $\lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0$ (så $\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = -\infty$ eftersom $x \ln x < 0$ för $0 < x < 1$ ) så är linjen $x = 0$ en vertikal asymptot till grafen $y = f(x)$ . För $0 < x < 1$ och $x > 1$ är nämnaren $\neq 0$ , så i dessa punkter kan det ej finnas några vertikala asymptoter.

Vidare har vi $\lim_{x \to \infty} x \ln x = \infty$ så $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ , dvs linjen $y = 0$ är en horisontell asymptot till grafen $y = f(x)$ .

Vi kan nu skissa grafen till $f$ (se figur på nästa sida).