Lösning. Vi noterar först att

\int_{1}^{\infty} a x e^{-x} \, dx = a \int_{1}^{\infty} x e^{-x} \, dx.

Låter vi

I_{1} = \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^{2} + x} \quad \text{och} \quad I_{2} = \int_{1}^{\infty} x e^{-x} \, dx

ser vi att vi vill bestämma $a$ så att $I_{1} = a I_{2}$ , dvs $a = I_{1} / I_{2}$ .

För att beräkna $I_{1}$ behöver vi först partialbråksuppdela. Vi gör ansatsen

\frac{1}{x^{2} + x} = \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}.

Multiplicerar vi med $x(x + 1)$ fås

1 = A(x + 1) + B x

vilket vi skriver som

1 = (A + B) x + A.

Identifierar vi koefficienterna fås villkoren $A + B = 0$ och $A = 1$ , vilket ger $A = 1$ och $B = -1$ . Således har vi

\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}.

Detta ger

\begin{array}{l} I_{1} = \lim_{R \to \infty} \int_{1}^{R} \frac{dx}{x^{2} + x} = \lim_{R \to \infty} \int_{1}^{R} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}\right) dx = \lim_{R \to \infty} [\ln |x| - \ln |x + 1|]_{1}^{R} = \\ = \lim_{R \to \infty} \left[ \ln \left(\frac{|x|}{|x + 1|}\right) \right]_{1}^{R} = \lim_{R \to \infty} \left(\ln \left(\frac{|R|}{|R + 1|}\right) - \ln(1/2)\right) = \ln 1 - \ln(1/2) = \ln 2. \end{array}

Vi beräknar nu $I_{2}$ . Partiell integration ger

\int_{1}^{R} x e^{-x} \, dx = \left[ -x e^{-x} \right]_{1}^{R} - \int_{1}^{R} (-e^{-x}) \, dx = e^{-1} - R e^{-R} + \left(\left[ -e^{-x} \right]_{1}^{R}\right) = 2 e^{-1} - R e^{-R} - e^{-R}.

Från detta följer nu

I_{2} = \lim_{R \to \infty} \int_{1}^{R} x e^{-x} \, dx = \lim_{R \to \infty} \left(2 e^{-1} - R e^{-R} - e^{-R}\right) = 2 e^{-1}.

Således får vi

a = \frac {I _ {1}}{I _ {2}} = \frac {\ln 2}{2 e ^ {- 1}} = \frac {e \ln 2}{2}.

Svar: Värdet är $a = \frac{e\ln 2}{2}$ .