Eftersom $1 + x^2 > 0$ för alla $x$ så ser vi att funktionen $f$ är definierad och kontinuerlig för alla $x$ . Vi kan också notera att $f$ är en jämn funktion.

För att undersöka hur funktionen $f$ beter sig, och om den har eventuella största eller minsta värden, börjar vi med att undersöka derivatan och dess teckenväxlingar. Vi har

f'(x) = \frac{\frac{2x}{1 + x^2} \cdot (1 + x^2) - \ln(1 + x^2)(2x)}{(1 + x^2)^2} = -\frac{2x(\ln(1 + x^2) - 1)}{(1 + x^2)^2}.

Eftersom nämnaren alltid är skild från 0 så ges de kritiska punkterna av ekvationen $2x(\ln(1 + x^2) - 1) = 0$ , vilket ger $x = 0$ eller $\ln(1 + x^2) = 1$ . Den sista ekvationen har lösningarna $\pm \sqrt{e - 1}$ . Således har vi de kritiska punkterna $x = 0$ och $\pm \sqrt{e - 1}$ .

Vi får följande teckentabell för derivatan: $f'(x) > 0$ för $x < -\sqrt{e - 1}$ och för $0 < x < \sqrt{e - 1}$ ; och $f'(x) < 0$ för $-\sqrt{e - 1} < x < 0$ och för $x > \sqrt{e - 1}$ . Detta betyder att funktionen $f$ är strängt växande på intervallen $(-\infty, \sqrt{e - 1}$ och $[0, \sqrt{e - 1}]$ , och strängt avtagande på intervallen $[- \sqrt{e - 1}, 0]$ och $[\sqrt{e - 1}, \infty)$ .

Vidare har vi gränsvärdena

\lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \text{ och } \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0

Från tabellen ovan ser vi att $f$ har ett lokalt minimum i $x = 0$ , och lokala maxima i $x = \pm \sqrt{e - 1}$ . Vi noterar också att $f(0) = 0$ , och $f(\pm \sqrt{e - 1}) = 1/e$ .

Med hjälp av informationen ovan kan vi skissa kurvan (se Figur).

Vi ser att $f$ har minsta värde 0 och största värde $1/e$ . Eftersom $f$ är kontinuerlig överallt betyder detta att värdemängden är $[0, 1/e]$ .

Eftersom $1/e < 1$ så betyder det att ekvationen $f(x) = 1$ saknar lösningar.

Svar: Värdemängden är $[0, 1/e]$ ; och ekvationen $f(x) = 1$ saknar lösningar.

FIGUR 1. Kurvan $y = f(x)$ i uppgift 3.