Lösning. Låt

f (x) = \frac {1}{x} + 2 \arctan x.

Vi noterar att $f$ är definierad för alla $x \neq 0$ . Vi noterar också att den givna ekvationen kan skrivas $f(x) = 3$ .
Eftersom $1 / x < 0$ och $\arctan x < 0$ för alla $x < 0$ så har vi att $f(x) < 0$ för alla $x < 0$ . Således kan inte ekvationen $f(x) = 3$ ha några lösningar i intervallet $(-\infty, 0)$ . Det räcker därför att analysera funktionen $f(x)$ på intervallet $(0, \infty)$ .
Vi har

\lim _ {x \rightarrow 0 ^ {+}} f (x) = \infty \tag {1}

och

\lim _ {x \rightarrow \infty} f (x) = \lim _ {x \rightarrow \infty} \left(\frac {1}{x} + 2 \arctan x\right) = 0 + 2 \cdot \frac {\pi}{2} = \pi > 3. \tag {2}

Vidare,

f ^ {\prime} (x) = - \frac {1}{x ^ {2}} + \frac {2}{1 + x ^ {2}} = \frac {2 x ^ {2} - (1 + x ^ {2})}{x ^ {2} (1 + x ^ {2})} = \frac {x ^ {2} - 1}{x ^ {2} (1 + x ^ {2})}.

Således ges de kritiska punkterna av $x^{2} - 1 = 0$ , dvs $f$ har de kritiska punkterna $x = \pm 1$ . Som vi noterat ovan behöver vi endast undersöka $f$ på intervallet $(0, \infty)$ . Vi får följande teckentabell för derivatan: $f'(x) < 0$ för $0 < x < 1$ , och $f'(x) > 0$ för $x > 1$ . Så $f$ är strängt avtagande på $(0, 1]$ och strängt växande på $[1, \infty)$ .
Eftersom $f$ är avtagande på intervallet $(0,1]$ så kan ekvationen $f(x) = 3$ ha högst en lösning i $(0,1]$ ; och eftersom $f$ är växande på intervallet $[1,\infty)$ så kan ekvationen $f(x) = 3$ ha högst en lösning i $[1,\infty)$
Vi noterar nu att $f(1) = -1 + 2\arctan (1) = 2\frac{\pi}{4} - 1 = \frac{\pi}{2} - 1 < 3$ . Eftersom $f$ är kontinuerlig på intervallet $(0,1]$ , och eftersom $f(1) < 3$ och (1) ovan gäller (t ex har vi $f(1/10) > 3$ ), så ger satsen om mellanliggande värden att det måste finnas ett $x_1$ i intervallet $(0,1)$ så att $f(x_1) = 3$ . Eftersom $f$ är kontinuerlig på intervallet $[1,\infty)$ , och eftersom $f(1) < 3$ och (2) ovan gäller, så ger satsen om mellanliggande värden att det måste finnas ett $x_2$ i intervallet $(1,\infty)$ så att $f(x_2) = 3$ .
Slutsats: ekvationen $f(x) = 3$ har precis 2 lösningar.
Svar: Ekvationen har precis två lösningar.