Lösning. I det första gränsvärdet så noterar vi att $e^{2x}$ är den dominerande termen i både täljaren och nämnaren då $x \to \infty$ . Vi förkortar därför med denna:

\lim _ {x \to \infty} \frac {e ^ {x / 2} + \ln (x) + 2 e ^ {2 x}}{3 e ^ {2 x} + x ^ {1 0 0} - 7} = \lim _ {x \to \infty} \frac {e ^ {- 3 x / 2} + \ln (x) / e ^ {2 x} + 2}{3 + x ^ {1 0 0} / e ^ {2 x} - 7 / e ^ {2 x}} = \frac {0 + 0 + 2}{3 + 0 - 0} = \frac {2}{3}

I det andra gränsvärdet så kan vi utnyttja de kända Taylorutvecklingarna

\sin (x) = x - \frac {x ^ {3}}{6} + O (x ^ {5}), \qquad \cos (x) = 1 - \frac {x ^ {2}}{2} + O (x ^ {4}).

Detta ger

\lim _ {x \to 0} \frac {x - \sin (x)}{x - x \cos (x)} = \lim _ {x \to 0} \frac {\frac {x ^ {3}}{6} + O (x ^ {5})}{\frac {x ^ {3}}{2} + O (x ^ {5})} = \lim _ {x \to 0} \frac {\frac {1}{6} + O (x ^ {2})}{\frac {1}{2} + O (x ^ {2})} = \frac {1}{3}.

Alternativt kan vi använda L'Hôpital regel 3 gånger (gränsvärdena är av typen $[0/0]$ ):

\begin{array}{l} \lim _ {x \to 0} \frac {x - \sin (x)}{x - x \cos (x)} = \lim _ {x \to 0} \frac {1 - \cos (x)}{1 - \cos (x) + x \sin (x)} = \lim _ {x \to 0} \frac {\sin (x)}{2 \sin (x) + x \cos (x)} \\ = \lim _ {x \to 0} \frac {\cos (x)}{3 \cos (x) - x \sin (x)} = \frac {1}{3}. \\ \end{array}

Svar: Gränsvärdena är $\frac{2}{3}$ och $\frac{1}{3}$ .