Lösning. Eftersom intervallet $[2, 3]$ ska delas in i $n$ stycken delintervall av längd $1/n$ ser vi att $P_n$ är partitionen

x_0 = 2, \; x_1 = 2 + 1/n, \; x_2 = 2 + 2/n, \; \dots, \; x_n = 2 + n/n = 3.

Eftersom vi söker Riemann-undersumman (med avseende på partitionen $P_n$ ) så måste vi hitta funktionen $f$ :s minsta värde på vardera delintervall $[x_{i-1}, x_i]$ ( $1 \leq i \leq n$ ). Funktionen $f(x) = 3x$ är strängt växande, så det minsta värdet (på intervallet $[x_{i-1}, x_i]$ ) antas i den vänstra ändpunkten $x_{i-1}$ . Således har vi

\begin{array}{l} L(P_n) = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})(x_i - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n} 3(2 + (i-1)/n) \frac{1}{n} = \sum_{i=1}^{n} 6/n + \sum_{i=1}^{n} 3(i-1)/n^2 = \\ = n \cdot (6/n) + \frac{3}{n^2} \sum_{i=1}^{n} (i-1). \end{array}

Eftersom vi har summationsformeln (aritmetisk summa)

\sum_{i=1}^{n} (i-1) = 0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}

kan vi alltså skriva

L(P_n) = n \cdot (6/n) + \frac{3}{n^2} \sum_{i=1}^{n} (i-1) = 6 + \frac{3}{n^2} \cdot \frac{n^2 - n}{2} = 6 + \frac{3}{2} - \frac{3}{2n}.