Anta att det inte finns någon punkt $p$ så att $g(p) = p$ , dvs anta att $g(x) \neq x$ för alla $x$ . Då måste $h(x) = x - g(x)$ vara skild från noll för alla $x$ och eftersom $h$ är kontinuerlig betyder det (enligt satsen om mellanliggande värden) att $h$ antingen är positiv för alla $x$ eller negativ för alla $x$ . Antag att $h$ är positiv för alla $x$ . Det betyder att $x > g(x)$ för alla $x$ . Enligt medelvärdessatsen har vi $g(x) - g(0) = g'(s)x$ för något $s$ mellan 0 och $x$ . Då $|g'(t)| \leq 1/2$ för alla $t$ måste det gälla att $|g(x) - g(0)| \leq |x|/2$ för alla $x$ , dvs $g(x) - g(0) \geq -|x|/2$ . Eftersom vi har antagit att $x > g(x)$ får vi

x - g(0) > -\frac{|x|}{2},

vilket ger

x + \frac{|x|}{2} > g(0)

för alla $x$ . Detta är omöjligt när $x \to -\infty$ , eftersom vänster led då går mot $-\infty$ . Slutsats blir att $h$ inte kan vara positiv för alla $x$ . På samma sätt visas att $h$ inte kan vara negativ för alla $x$ . Denna motsägelse visar att det måste finnas en punkt $p$ där $g(p) = p$ .