Lösning. Taylorpolynomet av grad 3 till en funktion $f(x)$ kring $x = 0$ har formen

P_3(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3.

För funktionen $f(x) = \arctan(2x)$ har vi enligt kedjeregeln att:

f'(x) = \frac{1}{1 + (2x)^2} \cdot 2 = 2(1 + (2x)^2)^{-1}.

Detta ger att

f''(x) = -2(1 + (2x)^2)^{-2} \cdot 2(2x) \cdot 2 = -16x(1 + (2x)^2)^{-2},

och att

f'''(x) = -16(1 + (2x)^2)^{-2} + 32x(1 + (2x)^2)^{-3}8x = \frac{-16}{(1 + (2x)^2)^2} + \frac{256x}{(1 + (2x)^2)^3}.

Vi har att

f(0) = f''(0) = 0, \quad f'(0) = 2, \quad f'''(0) = -16.

Det sökta Taylorpolynomet är alltså $P_3(x) = 2x - 8x^3/3$ .