Vi har givet $P(0) = 10$ . Insatt i den givna integralekvationen ger detta att $P'(0) = 20 - 0 - 1 = 19$ . Vi söker nu den lösning till (1) som uppfyller dessa begynnelsevillkor.

Först löser vi den motsvarande homogena ekvationen $P''(t) - 2P'(t) + 2P(t) = 0$ . Denna ekvation har den karakteristiska ekvationen $r^2 - 2r + 2 = 0$ , som har rötterna $r = 1 \pm i$ . Således ges den allmänna lösningen till den homogena ekvationen av $P_h(t) = e^t (A\cos t + B\sin(t))$ .

Vi söker nu en partikulärlösning till (1). Vi gör ansatsen $P_p(t) = ce^{2t}$ , där vi ska försöka bestämma konstanten $c$ . Insättning i ekvationen (1) ger villkoret

-2e^{2t} = P_p''(t) - 2P_p'(t) + 2P_p(t) = (4c - 2(2c) + 2c)e^{2t}.

Vi ser att $c = -1$ uppfyller detta. Således, $P_p(t) = -e^{2t}$ är en partikulärlösning.

Nu vet vi att den allmänna lösningen till (1) är

P(t) = P_h(t) + P_p(t) = e^t (A\cos t + B\sin(t)) - e^{2t}.

Vi använder nu begynnelsevillkoren för att bestämma konstanterna $A$ och $B$ . Eftersom $P'(t) = e^t (A\cos t + B\sin(t)) + e^t (-A\sin(t) + B\cos(t)) - 2e^{2t}$ får vi ekvationssystemet

\left\{ \begin{array}{l} 10 = P(0) = A - 1 \\ 19 = P'(0) = A + B - 2. \end{array} \right.

Detta ger $A = 11$ och $B = 10$ . Således är

P(t) = e^t (11\cos t + 10\sin(t)) - e^{2t}.

den sökta lösningen.