a). Taylorpolynomet av grad $n$ kring $x = 0$ (dvs, Maclaurinpolynomet) är

f (0) + f ^ {\prime} (0) x + \frac {f ^ {\prime \prime} (0)}{2 !} x ^ {2} + \ldots + \frac {f ^ {(n)} (0)}{n !} x ^ {n} = \sum_ {k = 0} ^ {n} \frac {f ^ {(k)} (0)}{k !} x ^ {k}.

Med $f(x) = \ln (1 + x)$ finner vi derivatorna

\begin{array}{l} f ^ {\prime} (x) = (1 + x) ^ {- 1}, \\ f ^ {\prime \prime} (x) = (- 1) (1 + x) ^ {- 2}, \\ f ^ {\prime \prime \prime} (x) = (- 1) (- 2) (1 + x) ^ {- 3}, \\ \vdots \\ f ^ {(k)} (x) = (- 1) ^ {k - 1} (k - 1)! (1 + x) ^ {- k}, \end{array}

så $f(0) = \ln (1) = 0$ och koefficienten för $x^{k}$ , $k = 1,2,\ldots$ blir

\frac {f ^ {(k)} (0)}{k !} = \frac {(- 1) ^ {k - 1} (k - 1) !}{k !} = \frac {(- 1) ^ {k - 1}}{k}.

(Strikt kan uttrycket för $f^{(k)}(x)$ visas med ett induktionsbevis.) Taylorpolynomet är alltså

p _ {n} (x) = x - \frac {1}{2} x ^ {2} + \frac {1}{3} x ^ {3} + \ldots + \frac {(- 1) ^ {n - 1}}{n} x ^ {n} = \sum_ {k = 1} ^ {n} \frac {(- 1) ^ {k - 1}}{k} x ^ {k}.

Alternativt kan polynomet fås genom termvis integration av de $n - 1$ första termerna i $\frac{1}{1 + t} = 1 - t + t^2 - \ldots$ från 0 till $x$ , se avsnitten 9.5 och 9.6 i kursboken.