Lösning. Definiera $E_N := S - S_N$ för heltal $N > 1$ . Eftersom vi har en positiv serie är det klart $E_N > 0$ . Vi visar nu att $N = 40000$ är det minsta heltal för vilket $E_N < 1/100$ .

\begin{array}{l} E_N = S - S_N = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}} - \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n\sqrt{n}} = \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}} \\ < \int_{N}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx = \lim_{A \to \infty} \int_{N}^{A} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx = \lim_{A \to \infty} \left[ -2 \frac{1}{x^{1/2}} \right]_{N}^{A} = \frac{2}{\sqrt{N}}. \end{array}

Om $N \geq 40000$ är alltså $E_N < \frac{2}{\sqrt{N}} \leq \frac{2}{\sqrt{40000}} = \frac{1}{100}$ .
Å andra sidan är

E_N = \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}} > \int_{N+1}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx = \lim_{A \to \infty} \left[ -2 \frac{1}{x^{1/2}} \right]_{N+1}^{A} = \frac{2}{\sqrt{N+1}},

så för $N < 40000$ , dvs $N \leq 39999$ , är $E_N > \frac{2}{\sqrt{N+1}} \geq \frac{2}{\sqrt{39999+1}} = \frac{1}{100}$ .
Olikheten mellan serien och den generaliserade integralerna i resonemangen ovan framgår om man ritar en figur och jämför arean av området mellan kurvan $y = 1/(x\sqrt{x})$ med summan av arean av rektanglarna $R_n$ , $n \geq N+1$ , med bas 1 och höjd $1/n(\sqrt{n})$ .