Lösning. Cirkelsegmentet $S_t$ kan ses som sektorn av cirkelskivan med vinkel $t$ , kallad $K_t$ , minus den likbenta triangeln med sidor $r$ och öppningsvinkel $t$ , kallad $T_t$ (tänk bildligt att glasstoppen $S_t = \text{strutglassen } K_t$ minus struten $T_t$ ). Arean för sektorn $K_t$ är $\frac{t}{2\pi}$ av arean för cirkelskivan,

A(K_t) = \frac{t}{2\pi} \pi r^2 = \frac{1}{2} r^2 t,

och arean för triangeln $T_t$ är som vanligt basen gånger höjden genom två,

A(T_t) = \frac{1}{2} \cdot 2r \sin \frac{t}{2} \cdot r \cos \frac{t}{2} = \frac{1}{2} r^2 \sin t,

det senare enligt sinus för dubbla vinkeln. Arean $A(S_t)$ är därför

A(S_t) = A(K_t) - A(T_t) = \frac{1}{2} r^2 (t - \sin t),

och vi ska alltså beräkna

\lim_{t \to 0} \frac{A(S_t)}{t^3} = \frac{1}{2} r^2 \lim_{t \to 0} \frac{t - \sin t}{t^3}.

M.h.a. repeterad användning av L'Hopitals regel (alternativt Taylorutveckling av $\sin t$ ) fås

\lim_{t \to 0} \frac{t - \sin t}{t^3} = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{3t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{6t} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos t}{6} = \frac{1}{6},

och alltså

\lim_{t \to 0} \frac{A(S_t)}{t^3} = \frac{r^2}{12}.

□