Lösning: Eftersom serien är positiv räcker det att visa att den är begränsad för att få konvergens.

\begin{array}{l} n \geq 1 \Longrightarrow \sqrt{n + 3} \geq \sqrt{4} = 2 \Longrightarrow \frac{1}{\sqrt{n + 3}} \leq \frac{1}{2} \Longrightarrow \\ \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{3^n \sqrt{n + 3}} \leq \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{3}\right)^n \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \{\text{geometrisk serie}\} \\ = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{4} \quad \text{för alla } N \Longrightarrow \text{konvergens}. \end{array}

Eller kortare:

0 < a_n = \frac{1}{3^n \sqrt{n + 3}} \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n} = b_n \text{ och } \sum b_n \text{ är konvergent såsom varande}

en geometrisk serie med $|1/3| < 1 \Longrightarrow \sum a_n \text{ är också konvergent.}$