Lösningsförslag. Standardgränsvärdet $xe^{-x} \to 0$ , då $x \to \infty$ ger att

\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{e^{x^2 / 4}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 / 4}{e^{x^2 / 4}} \cdot \frac{4}{x} = 0.

Dessa gränsvärden tillsammans med att $f$ är kontinuerlig och deriverbar för alla $x \in \mathbb{R}$ ger att funktionens maximala och minimala värde återfinns i de stationära punkterna för $f$ . Vi har att

f'(x) = \left(1 - \frac{x}{\sqrt{2}}\right) \left(1 + \frac{x}{\sqrt{2}}\right) e^{-x^2 / 4}

och att $f'(x) = 0$ om och endast om $x = \pm \sqrt{2}$ . Vi får att

f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{\frac{2}{e}}

och

f(\sqrt{2}) = \sqrt{\frac{2}{e}}.

Alltså ges värdemängden av

V_f = \left[ -\sqrt{\frac{2}{e}}, \sqrt{\frac{2}{e}} \right].

Svar.

V_f = \left[ -\sqrt{\frac{2}{e}}, \sqrt{\frac{2}{e}} \right].