Lösningsförslag. Allmänt gäller att $f$ är kontinuerlig för $x \neq 2$ , odefinierad för $x = 2$ och derivbar för alla $x \in \{x \in \mathbb{R} : x \neq 0, x \neq 2\}$ . Den kan även beskrivas enligt

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + 3x}{x - 2} & , x \geq 0 \\ \dfrac{x^2 - 3x}{x - 2} & , x < 0 \end{cases}

(a)

f'(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4x - 6}{(x - 2)^2} & , x > 0 \\ \dfrac{x^2 - 4x + 6}{(x - 2)^2} & , x < 0 \end{cases}

Då $x < 0$ gäller att $f'(x) > 0$ . Då $x > 0$ gäller att $f'(x) = 0$ om och endast om $x = 2 + \sqrt{10}$ . Vi har att $f'(x) > 0$ då $x < 0$ eller då $x > 2 + \sqrt{10}$ och att $f'(x) < 0$ då $0 < x < 2$ eller då $2 < x < 2 + \sqrt{10}$ .

Bland de derivbara punkterna har vi alltså en lokal minimipunkt i $x = 2 + \sqrt{10}$ . Det återstår att studera $x = 0$ där $f$ ej är derivbar men kontinuerlig. Eftersom $f$ växer till vänster och avtar till höger om $x = 0$ har vi att $x = 0$ är en lokal maximipunkt.

Svar.

(a) minimipunkt i $x = 2 + \sqrt{10}$ och $x = 0$ är en lokal maximipunkt.