(c) Om differentialekvationen ska uppfylla $y(0) = 1$ och $y'(0) = -\sqrt{2}$ så får vi från uttrycket för den allmänna lösningen i föregående uppgift att

1 = 0 \cdot e^{-0} + Ce^{(-1 + \sqrt{2}) \cdot 0} + De^{(-1 - \sqrt{2}) \cdot 0} = C + D

och (genom att derivera)

\begin{array}{l} - \sqrt{2} = (1 - 0) e^{-0} + C (-1 + \sqrt{2}) e^{(-1 + \sqrt{2}) \cdot 0} + D (-1 - \sqrt{2}) e^{(-1 - \sqrt{2}) \cdot 0} = \\ = 1 - (C + D) + \sqrt{2}(C - D) = \sqrt{2}(C - D). \end{array}

Alltså är $C + D = 1$ och $C - D = -1$ vilket ger att $C = 0$ och $D = 1$ . Så lösningen är i detta fall lika med $xe^{-x} + e^{(-1 - \sqrt{2})x}$ . Om $x \to \infty$ så ser vi att $e^{(-1 - \sqrt{2})x} \to 0$ (eftersom $-1 - \sqrt{2} < 0$ ) och $xe^{-x} \to 0$ (standardgränsvärde), och alltså är

\lim_{x \to \infty} (xe^{-x} + e^{(-1 - \sqrt{2})x}) = 0.

Därefter har vi att

\lim_{x \to -\infty} (x e^{-x} + e^{(-1 - \sqrt{2})x}) = \lim_{x \to -\infty} e^{(-1 - \sqrt{2})x} (x e^{\sqrt{2}x} + 1) = \infty,

på grund av att

\lim_{x \to -\infty} x e^{\sqrt{2}x} = \left\{t = -\sqrt{2}x \right\} = \frac{-1}{\sqrt{2}} \cdot \lim_{t \to \infty} t e^{-t} = \left\{ \text{Standardgränsvärde} \right\} = 0

och $\lim_{x \to -\infty} e^{(-1 - \sqrt{2})x} = \infty$ .

Svar.

(a) (Se lösning.)

(b) $x e^{-x} + C e^{(-1 + \sqrt{2})x} + D e^{(-1 - \sqrt{2})x}$ , där $C$ och $D$ är godtyckliga konstanter

(c) $\lim_{x \to \infty} y(x) = 0$ och $\lim_{x \to -\infty} y(x) = \infty$