Om rektangeln ska vara axelparallell:

Den största arean fås uppenbart om man väljer det motsatta hörnet PÅ kurvan, dvs i en punkt där $y = \frac{9}{x + 1} - 1$ . I så fall blir arean

A(x) = x\left(\frac{9}{x + 1} - 1\right) = \frac{8x - x^2}{x + 1},

där $x > 0$ enligt villkoren i uppgiften. Vi deriverar och får (efter förenkling)

A'(x) = \frac{-x^2 - 2x + 8}{(x + 1)^2}.

Enda nollstället för positiva $x$ av $A'(x)$ inträffar när $x = 2$ . Vi ser också att $A'(x)$ är positiv för $0 < x < 2$ , så $A$ är strängt växande här, och att $A'(x)$ är negativ för $x > 2$ , så $A$ är strängt avtagande här. Det följer att största värdet för funktionen $A$ inträffar när $x = 2$ . Det största värdet är $A(2) = 4$ . Den största area vi kan få är alltså 4, om rektangeln måste vara axelparallell.

Om rektangeln inte behöver vara axelparallell blir problemet ett annat, här är en skiss på hur man kan tänka i det fallet:

Först observerar vi att av alla rektanglar med samma längd på diagonalen så är det kvadraten som har störst area. Ty om vi har en rektangel med diagonalen $d$ och bredden $x$ så är höjden $\sqrt{d^2 - x^2}$ och arean $A(x) = x\sqrt{d^2 - x^2}$ antar sitt maximum för $x = d/\sqrt{2}$ . Detta eftersom $A'(x) = (d^2 - 2x^2)/\sqrt{d^2 - x^2}$ som är positivt då $0 < x < d/\sqrt{2}$ , noll då $x = d/\sqrt{2}$ och negativt då $x > d/\sqrt{2}$ .

Det gäller därför att försöka maximera diagonalen i rektangeln. Låt $f(x) = \frac{9}{x + 1} - 1$ , som är definierat för $x \geq 0$ . Då är $f'(x) = -9/(x + 1)^2$ som är negativt för $x \geq 0$ vilket medför att $f$ är avtagande där. Och $f''(x) = 18/(x + 1)^3$ som är positivt för $x \geq 0$ vilket medför att kurvan $f$ är konvex där. Detta betyder att vi ska välja den diagonalt motsatta punkten där kurvan skär någon av axlarna, dvs i någon av punkterna $(8,0)$ och $(0,8)$ , som båda ger diagonalens längd 8 och arean 32. Men dessa punkter ligger inte i det område som specificerades i uppgiften, där det krävdes att både $x$ och $y$ skulle vara positiva! I detta fall finns alltså ingen största area - rektanglar som uppfyller kraven i uppgiften kan ha area som ligger hur nära 32 som helst, men ingen av dem uppnår den arean.

Svar: För axelparallella rektanglar är maxarean 4. För godtyckliga rektanglar saknas maximum.