Vi har att $f$ är kontinuerlig i $x = 2$ precis när $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ . Eftersom $f(2) = a$ och

\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{(x^3 - 8) \sin(x - 2)}{(x - 2)^2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x^2 + 2x + 4) \sin(x - 2)}{(x - 2)} = 12

så ser vi att $f$ är kontinuerlig i punkten $x = 2$ precis när $a = 12$ . Om vi sätter $a = 12$ så är alltså $f$ kontinuerlig i $x = 2$ och för alla $x \neq 2$ så är

f(x) = \frac{(x^3 - 8) \sin(x - 2)}{(x - 2)^2}

som är ett elementärt uttryck definierat för alla $x \neq 2$ . Alltså är $f$ nu kontinuerlig för alla $x$ . Är $f$ deriverbar? I $x \neq 2$ är det klart att funktionen är deriverbar med hjälp av kvot-, produkt- och kedjereglerna för derivator av elementära funktioner. Punkten $x = 2$ måste dock undersökas separat eftersom nämnaren där är noll. Vi får:

f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{(x^2 + 2x + 4) \sin(x - 2)}{x - 2} - 12}{x - 2} = \frac{(x^2 + 2x + 4) \sin(x - 2) - 12(x - 2)}{(x - 2)^2} = \cdots = 6,

där vi har använt l'Hospitals regel två gånger. Vi ser alltså att $f$ nu är deriverbar överallt.
Svar: 12. Ja.