Lösning. Med hjälp av Maclaurinutveckling vet vi att $e^t = 1 + t + \frac{e^{\xi}}{2} t^{2}$ för något $\xi$ mellan 0 och $t$ . Genom att substituera $-x^{2} = t$ får vi

e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{e^{\xi}}{2} x^4

för något tal $\xi$ mellan 0 och $-x^{2}$ . Vi får approximationen

\int_{0}^{1/4} e^{-x^2}\,dx \approx \int_{0}^{1/4} (1 - x^2)\,dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1/4} = \frac{47}{192}.

Om $\xi$ ligger mellan 0 och $-x^{2}$ där $0 \leq x \leq 1/4$ så är $|e^{\xi}| \leq 3$ så felet vi gör när vi approximerar vår integral med $47/192$ är till absolutbeloppet mindre än

\int_{0}^{1/4} \frac{3}{2} x^4\,dx = \left[ \frac{3x^5}{10} \right]_{0}^{1/4} = \frac{3}{10 \cdot 4^5} < 0.01.

SVar: Approximationen $\int_0^{1/4} e^{-x^2}\,dx \approx \frac{47}{192}$ ligger inom en hundradel från det verkliga värdet.