Lösning: Villkoret för att gränsvärdet ska finnas är att täljaren kan skrivas som $x^2 \cdot B(x)$ , där funktionen $B(x)$ är begränsad nära $x = 0$ . Och gränsvärdet blir då $B(0)$ .
Vi använder oss av binomialformeln

(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \cdots,

som visar att täljaren är lika med

\sqrt{a} \left( \left(1 + \frac{2x}{a}\right)^{1/2} - \left(1 + \frac{x}{a}\right)^{1/2} \right) - x = \sqrt{a} \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{a} + \frac{1/2 \cdot (-1/2)}{2} \cdot \frac{4x^2}{a^2} + \mathcal{O}(x^3) \right. \left. -1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{a} - \frac{1/2 \cdot (-1/2)}{2} \cdot \frac{x^2}{a^2} - \mathcal{O}(x^3) \right) - x = \sqrt{a} \left( \frac{x}{2a} - \frac{1}{8}(4 - 1) \cdot \frac{x^2}{a^2} + \mathcal{O}(x^3) \right) - x = x \left( \frac{1}{2\sqrt{a}} - 1 \right) - \frac{3}{8a\sqrt{a}} \cdot x^2 + \mathcal{O}(x^3).

Kravet att $x$ -termen ska försvinna visar att $2\sqrt{a} = 1 \iff a = 1/4$ . Då är $a\sqrt{a} = 1/4 \cdot 1/2 = 1/8$ , varvid täljaren blir $= -3x^3 + \mathcal{O}(x^3)$ , och det sökta gränsvärdet blir lika med

\lim_{x \to 0} \frac{-3x^2 + \mathcal{O}(x^3)}{x^2} = -3.