Vi löser den karakteristiska ekvationen

r^2 - 2r + 2 = 0 \Leftrightarrow r = 1 \pm \sqrt{1 - 2} = 1 \pm i

Detta betyder att $y_h(x) = e^x \left( C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x) \right)$ .
Pga att höger ledet $\sin x$ är inte en lösning till den homogena delen så ansätter vi som en partikulär lösning

y_p(x) = Bx^2 + Cx + D. \text{ Det följer}

$y_p'(x) = 2Bx + C, y_p''(x) = 2B$ och in i den givna differentialekvationen

y'' - 2y' + 2y = 2x^2 - 2

Vi får

y_p'' - 2y_p' + 2y_p = 2Bx^2 + (-4B + 2C)x + 2B - 2C + D

Vilket ger ekvationsystemet

\left\{ \begin{array}{r l} 2B & = 2 \\ -4B + 2C & = 0 \\ 2B - 2C + D & = -2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} B = 1 \\ C = 2 \\ D = 0 \end{array} \right.

Alltså är $y_p(x) = x^2 + 2x$
Delsvar: $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^x \left( C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x) \right) + x^2 + 2x$
Använd $y(0) = 0$ och $y'(0) = 0$ för att bestämma $C_1$ och $C_2$ .

y(0) = C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 0

Vi derivera $y(x) = e^x \left( C_1 \sin(x) \right) + x^2 + 2x$ $y' = e^x \left( C_1 \sin x \right) + e^x \left( C_1 \cos x \right) + 2x + 2$ .
som ger

y'(0) = (C_1) + 2 = 0 \Rightarrow C_1 = -2

Svar $y(x) = -2 \sin x \cdot e^x + x^2 + 2x$