Karakteristiska ekvationen $r^2 - r - 2 = 0 \Longrightarrow$

r = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1 + 8}{4}} = \frac{1 \pm 3}{2} = \left\{ \begin{array}{l} 2 \\ -1 \end{array} \right. \quad \Longrightarrow y_{\text{hom}} = A e^{2x} + B e^{-x}.

Ansatsen $y_{\text{part}} = ax + b \Longrightarrow 0 - a - 2ax - 2b = x \iff (2a + 1)x + (a + 2b) = 0$ för alla $x \Longrightarrow a = -1/2$ och $b = -a/2 = 1/4 \Longrightarrow y_{\text{part}} = -x/2 + 1/4$ . Så $y = A e^{2x} + B e^{-x} - x/2 + 1/4$ , vilket ger $y' = 2A e^{2x} - B e^{-x} - 1/2$ .

\left\{ \begin{array}{l} 2 = y(0) = A + B + 1/4 \iff A + B = 7/4, \\ 0 = y'(0) = 2A - B - 1/2 \iff 2A - B = 1/2. \end{array} \right.

Adderas ekvationerna till höger om $\iff$ fås $3A = 9/4 \iff A = 3/4$ ; sedan ger första ekvationen att $B = 7/4 - 3/4 = 1$ . Det vill säga,

y(x) = \frac{3}{4} e^{2x} + e^{-x} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}.