Vi löser den karakteristiska ekvationen

r^2 - 2r + 4 = 0 \Leftrightarrow r = 1 \pm \sqrt{1 - 4} = 1 \pm i\sqrt{3}

Detta betyder att $y_h(x) = e^x \left( C_1 \sin(\sqrt{3}x) + C_2 \cos(\sqrt{3}x) \right)$ .

Pga att höger ledet $\sin x$ är inte en lösning till den homogena delen så ansätter vi som en partikulär lösning

y_p(x) = A \sin x + B \cos x. \text{ Det följer} y_p'(x) = a \cos x - B \sin x, \quad y_p''(x) = -A \sin x - B \cos x \quad \text{och in i den givna differentialekvationen} y'' - 2y' + 4y = 13 \sin x.

Vi får

y_p'' - 2y_p' + y_p = (-A + 2B + 4A) \sin x + (-B - 2A + 4B) \cos x

Vilket ger ekvationsystemet

\left\{ \begin{array}{l} 3A + 2B = 13 \\ -2A + 3B = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 3 \\ B = 2 \end{array} \right.

Alltså är $y_p(x) = A \sin x + B \cos x = 3 \sin x + 2 \cos x$

Delsvar: $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^x \left( C_1 \sin(\sqrt{3}x) + C_2 \cos(\sqrt{3}x) \right) + 3 \sin x + 2 \cos x$

Använd $y(0) = 0$ och $y'(0) = 0$ för att bestämma $C_1$ och $C_2$ .

y(0) = C_2 + 2 = 0 \Rightarrow C_2 = -2

Vi derivera

y(x) = e^x \left( C_1 \sin(\sqrt{3}x) - 2 \cos(\sqrt{3}x) \right) + 3 \sin x + 2 \cos x y' = e^x \left( C_1 \sin(\sqrt{3}x) - 2 \cos(\sqrt{3}x) \right) + e^x \left( C_1 \sqrt{3} \cos(\sqrt{3}x) + 2 \sqrt{3} \sin(\sqrt{3}x) \right) + 3 \cos x - 2 \sin x.

som ger

y'(0) = (-2) + \left( C_1 \sqrt{3} \right) + 3 = 0 \Rightarrow C_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}

Svar $ y(x) = e^x \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \sin(\sqrt{3}x) - 2 \cos(\sqrt{3}x) \right) + 3 \sin x + 2 \cos x $