Lösning:

\frac {d y}{d x} = \frac {1}{2} \left(e ^ {x} + e ^ {- x}\right) > 0 \text{ för alla } x \Longrightarrow y \text{ är växande}

$\Longrightarrow$ inversen finns.

y = \frac {1}{2} (e ^ {x} - e ^ {- x}) \iff 2 y = e ^ {x} - e ^ {- x} \iff e ^ {x} - 2 y - e ^ {- x} = 0 \Longleftrightarrow (e ^ {x}) ^ {2} - 2 y e ^ {x} - 1 = 0 \Longleftrightarrow e ^ {x} = y \pm \sqrt {y ^ {2} + 1}.

Eftersom $e^x > 0$ är $e^x = y + \sqrt{y^2 + 1} \iff x = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1})$ . Så inversfunktionen $y = \sinh^{-1}(x)$ blir lika med $\ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ .