Matrisen

A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix}

är i $M_{2,2}$ om och endast om

\begin{bmatrix} a_1 & a_3 \\ a_2 & a_4 \end{bmatrix} = A^T = AB = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_2 & -a_1 \\ a_4 & -a_3 \end{bmatrix}.

Jämför matrisens fyra element med varandra på båda sidor av ekvationen ger ekvationssystemet

\begin{cases} a_1 = a_2 \\ a_2 = a_4 \\ a_3 = -a_1 \\ a_4 = -a_3 \end{cases}

vilket är ekvivalent med

\begin{cases} a_1 - a_2 = 0 \\ a_2 - a_4 = 0 \\ a_1 + a_3 = 0 \\ a_3 + a_4 = 0. \end{cases}

Vi använder Gausseliminering på den associerade matrisen:

\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},

d.v.s. lösningsmängden till ekvationssystemet är

L = \{a_1(1, 1, -1, 1) : a_1 \in \mathbb{R}\}

En bas för lösningsmängden ges alltså av vektorn $(1, 1, -1, 1)$ . En bas för $U$ ges av den motsvarande matrisen

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}.