Egenvärdena fås från

\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda - 2 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda - 2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda - 2 \end{vmatrix} = (\lambda - 2)^3 + 1^3 + 1^3 - (\lambda - 2) - (\lambda - 2) - (\lambda - 2) = \lambda (\lambda - 3)^2

Alltså har $A$ egenvärdena 0 och 3.

Vi bestämmer en bas till egenrummet med egenvärde 3. Vi behöver lösa $(3I - A)\vec{v} = \vec{0}$ . Vi radreducerar

3I - A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

och ser att lösningsrummet är $L = \{t(-1, 1, 0)^T + s(-1, 0, 1)^T : s, t \text{ reella tal}\}$ . Vektorerna $\vec{v}_1 = (-1, 1, 0)^T$ , $\vec{v}_2 = (-1, 0, 1)^T$ bildar alltså en bas till egenrummet. En ortogonal bas ges av

\vec{w}_1 := \vec{v}_1

och

\vec{w}_2 = \vec{v}_2 - \operatorname{proj}_{\vec{w}_1} \vec{v}_2 = (-1, 0, 1)^T - \frac{1}{2} (-1, 1, 0)^T = \frac{1}{2} (-1, -1, 2)^T

En orgonormal bas ges av

\vec{x}_1 := \frac{1}{\|\vec{w}_1\| \vec{w}_1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (-1, 1, 0)^T

och

\vec{x}_2 := \frac{1}{\|\vec{w}_2\| \vec{w}_2} = \frac{1}{\sqrt{6}} (-1, -1, 2)^T

Eftersom $A$ är symmetrisk har $A$ en ortonormalbas bestående av egenvektorer. En tredje egenvektor ges därmed av kryssprodukten

\vec{x}_3 = \vec{x}_1 \times \vec{x}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, 1, 1)^T

och vi ser att den har egenvärdet 0. Vi sätter därför

P = [\vec{x}_1 \vec{x}_2 \vec{x}_3] = \begin{bmatrix} -1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{3} \\ 0 & 2/\sqrt{6} & 1/\sqrt{3} \end{bmatrix}

och

D = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.