c) Eftersom vinkeln mellan två vektorer inte påverkas av vektorernas belopp går det att anta att $\pmb{u}$ och $\pmb{v}$ är enhetsvektorer. Vinkeln $\theta$ mellan vektorerna uppfyller då $\cos \theta = \pmb{u} \cdot \pmb{v}$ . Cosinusfunktionen är en avtagande funktion för $\theta \in (0, \pi)$ , så minsta vinkel fås när skalärprodukten $\pmb{u} \cdot \pmb{v}$ är så stor som möjligt. Genom att uttrycka $\pmb{u}$ i basen $\{\pmb{u}_1, \pmb{u}_2\}$ och $\pmb{v}$ i basen $\{\pmb{v}_1, \pmb{v}_2\}$ fås att

\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = (s \boldsymbol{u}_1 + t \boldsymbol{u}_2) \cdot (x \boldsymbol{v}_1 + y \boldsymbol{v}_2) = s x \boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{v}_1 + s y \boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{v}_2 + t x \boldsymbol{u}_2 \cdot \boldsymbol{v}_1 + t y \boldsymbol{u}_2 \cdot \boldsymbol{v}_2,

där $s^2 + t^2 = 1$ och $x^2 + y^2 = 1$ . Skalärprodukten kan sammanfattas i matrisform som

\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} s & t \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \quad \text{där} \quad A = \begin{bmatrix} \boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{u}_2 \cdot \boldsymbol{v}_1 \\ \boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{v}_2 & \boldsymbol{u}_2 \cdot \boldsymbol{v}_2 \end{bmatrix}.

Den ortogonala diagonaliseringen ger att

\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} s & t \end{bmatrix} PDP^T \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s' & t' \end{bmatrix} D \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix},

där nya variabler $s', t', x'$ och $y'$ införs via

\begin{bmatrix} s' \\ t' \end{bmatrix} = P^T \begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix} \quad \text{och} \quad \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = P^T \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.

Eftersom $P$ (och därmed även $P^T$ ) är en ortogonalmatris uppfyller de nya variablerna sambanden $(s')^2 + (t')^2 = 1$ och $(x')^2 + (y')^2 = 1$ . Sammanfattningsvis är

\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = \lambda_1 s' x' + \lambda_2 t' y' \quad \text{där} \quad (s')^2 + (t')^2 = 1 \quad \text{och} \quad (x')^2 + (y')^2 = 1.

Från detta inses att skalärprodukten blir som störst när $s' = x' = 0$ och $t' = y' = 1$ om egenvärdena uppfyller $\lambda_2 > \lambda_1$ , dvs. vinkeln mellan vektorerna $\boldsymbol{u}$ och $\boldsymbol{v}$ är som minst $\arccos \lambda_2$ . Med värdet av $\lambda_2$ beräknad i b) får vi att denna vinkel är $\arccos \frac{3}{\sqrt{10}}$ .